[論文レビュー] On Monotonicity and Propagation of Order Properties

Aivar Sootla|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、マコフ過程における決定的単調性と確率的順序伝播の間の関係を確立し、凸ベクトル場を有する系は増加凸順序（F_icx）を伝播させることを示している。一方、標準的単調性を有する系は通常の順序（F_d）を伝播させる。主な結果として、単分子反応の線形ノイズ近似（LNA）は、その平均と分散共分散を通じてF_icx順序を保存する。これにより、モーメントに基づく解析によって生物学的プロセスの間で頑健な比較が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, a link between monotonicity of deterministic dynamical systems and propagation of order by Markov processes is established. The order propagation has received considerable attention in the literature, however, this notion is still not fully understood. The main contribution of this paper is a study of the order propagation in the deterministic setting, which potentially can provide new techniques for analysis in the stochastic one. We take a close look at the propagation of the so-called increasing and increasing convex orders. Infinitesimal characterisations of these orders are derived, which resemble the well-known Kamke conditions for monotonicity. It is shown that increasing order is equivalent to the standard monotonicity, while the class of systems propagating the increasing convex order is equivalent to the class of monotone systems with convex vector fields. The paper is concluded by deriving a novel result on order propagating diffusion processes and an application of this result to biological processes.

研究の動機と目的

• マコフ過程における決定的単調性と確率的順序伝播の関係を明確化すること。
• 決定的系における増加順序および増加凸順序の無限小的特徴づけを提供すること。
• 特にF_icxおよびF_dの両順序を伝播させるマコフ過程の条件を同定すること。
• 線形ノイズ近似（LNA）を用いて生物学的系にこれらの結果を適用すること。
• 単分子反応ネットワークが、その平均および共分散行列を通じてF_icx順序を保存することを示すこと。

提案手法

• ベクトル場の勾配およびヘッセ行列解析を用いて、F_dおよびF_icx順序伝播の無限小的条件を導出する。
• F_d順序伝播が標準的単調性に対応する一方、F_icx伝播には凸ベクトル場が必要であることを示す。
• 離散時間LNA過程の解析に確率的積分計算および条件付き期待値の技術を適用する。
• ジェンセンの不等式および共分散差の半正定値性を用いて順序保存を証明する。
• 条件付き期待値フレームワークを用いて、モーメントに基づく確率的順序を通じて分布を比較する。
• LNA過程の遷移作用素を解析し、特定のネットワーク構造下でF_icx順序が伝播することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的系において増加凸順序（F_icx）が伝播するための決定的条件は何か？
• RQ2 ベクトル場の構造は、マコフ過程における確率的順序伝播とどのように関係するか？
• RQ3 どの種の生化学反応ネットワークが線形ノイズ近似下でF_icx順序を保存するか？
• RQ4 なぜF_d順序よりもF_icx順序が単分子反応プロセスの比較に適しているのか？
• RQ5 LNA過程において、モーメントベースの解析（平均および共分散）を用いて確率的順序関係を推論できるか？

主な発見

• F_icx順序を伝播させる系のクラスは、凸ベクトル場を有する単調系と等価である。
• F_d順序は標準的単調性に等しく、ほぼ確実なサンプルパス比較に対応する。
• LNA下でF_d順序を伝播するのは、結合のない出生死滅過程に限られ、生物学的系への応用範囲が限定的である。
• LNAにおけるすべての単分子反応ネットワークはF_icx順序を伝播させ、その順序は平均および共分散行列を通じて保存される。
• F_icx順序により、サンプルパス比較が失敗しても、モーメントに基づく確率的優位性を通じてシステム分布を比較可能になる。
• 証明は条件付き期待値およびジェンセンの不等式に依拠し、任意の凸関数hについてE[h(TZ₂)|Z₁] ≥ E[h(TZ₁)]が成り立つことを示している。