[論文レビュー] Qualitative properties of certain piecewise deterministic Markov processes

Michel Benaı̈m, Stéphane Le Borgne+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2012

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな状態空間上に定義された、状態依存のジャンプレートと滑らかなベクトル場を有する $ olimits\mathbb{R}^d \times E$ 上の区分的決定的マルコフ過程（PDMP）を研究する。ホルマンダ型の括弧条件が満たされる場合、一意な不変測度が存在し、初期分布に一様に依存しない全 Variation での指数的エルゴード性が確立される。

ABSTRACT

We study a class of Piecewise Deterministic Markov Processes with state space Rd x E where E is a finite set. The continuous component evolves according to a smooth vector field that is switched at the jump times of the discrete coordinate. The jump rates may depend on the whole position of the process. Working under the general assumption that the process stays in a compact set, we detail a possible construction of the process and characterize its support, in terms of the solutions set of a differential inclusion. We establish results on the long time behaviour of the process, in relation to a certain set of accessible points, which is shown to be strongly linked to the support of invariant measures. Under Hörmander-type bracket conditions, we prove that there exists a unique invariant measure and that the processes converges to equilibrium in total variation. Finally we give examples where the bracket condition does not hold, and where there may be one or many invariant measures, depending on the jump rates between the flows.

研究の動機と目的

• 状態依存のジャンプレートを有する区分的決定的マルコフ過程（PDMP）の長期的挙動を特徴づけること。
• 不変測度の台を、到達可能点および微分包含を用いて特定すること。
• 平衡への収束が成り立つ条件を確立すること、特に一意性と指数的エルゴード性に注目すること。
• ホルマンダ括弧条件が遷移核の絶対連続性と不変測度の一意性を保証することを示すこと。
• 反例を用いて、括弧条件が満たされない場合、ジャンプレートの構造に依存して一意性が失われる可能性があることを示すこと。

提案手法

• 状態依存のジャンプレートを有するフローに基づくダイナミクスを用いて、$M \times E$ 上に PDMP を構築し、ジャンプ生成子の正値性と再起的性質を保証する。
• 到達可能集合を、ベクトル場 $F^i$ によって形成される微分包含の解によって到達可能な点の集合として定義し、それがコンパクトで、連結であり、強く正に不変であることを証明する。
• ベクトル場 $F^i$ に対してホルマンダ型の括弧条件を適用し、十分な時間が経過した後、過程の遷移核が Lebesgue 測度に関して滑らかな密度を持つことを保証する。
• 流れの再帰的「ハノイの塔」的構成と時間スケーリングの議論を用いて、Lie 括弧を生成し、正則性の局所的基準を検証する。
• 初期分布に一様に依存しない密度の存在を示すことにより、遷移核の均一な正則性を確立する。
• カップリングおよび絶対連続性の議論を用いて、ホルマンダ条件のもとで全 Variation における指数的エルゴード性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト状態空間と状態依存のジャンプレートを有する $ olimits\mathbb{R}^d \times E$ 上の PDMP が、一意な不変測度を有するための条件は何か？
• RQ2 不変測度の台は、ベクトル場 $F^i$ の微分包含によって定義される到達可能集合とどのように関係しているか？
• RQ3 ホルマンダ括弧条件は、遷移核の滑らかな密度の存在と平衡への指数的収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 ホルマンダ条件が満たされない場合、不変測度の一意性が失われる可能性はあり、その場合、ジャンプレートの構造はどのように影響するか？
• RQ5 平衡への収束は初期分布に一様に依存するか？ また、全 Variation での収束はどのような条件下で成立するか？

主な発見

• ホルマンダ括弧条件のもとでは、十分に大きなジャンプ回数後の PDMP の分布は、$ olimits\mathbb{R}^d \times E$ 上の Lebesgue 測度に関して密度を持つ。これは初期分布に一様に依存する。
• ホルマンダ条件が成り立つ場合、過程は全 Variation で指数的レートで平衡に収束し、不変測度の一意性が保証される。
• 任意の不変測度の台は、到達可能集合に含まれる。この集合はコンパクトで、連結であり、微分包含に関して強く正に不変である。
• ホルマンダ条件が満たされない場合、不変測度の数は、ベクトル場だけでなく、ジャンプレートの構造に依存する可能性がある。
• 本稿は、Bakhtin と Hurth (2012) の主要結果を構成的証明により拡張し、状態依存のジャンプレートに適用し、遷移核の均一な正則性を確立する。
• ベクトル場 $F^i$ 及びその反復括弧によって生成される Lie 環が、再帰的流れの構成によって回復可能であることが示され、正則性の局所的基準が確認される。