[論文レビュー] On Morphic Actions and Integrability of LA-Groupoids

Luca Stefanini|ArXiv.org|Feb 12, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 45被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、リー代数群の圏における群体的対象（LA-群体）の積分可能性の十分条件を、型写像作用と余接上りの枠組みに基づく関手的アプローチを用いて、二重リー群体への積分可能性について確立する。Lie代数群ホモトピーの延長構成を用いて、必要十分な積分可能性条件を提示し、自然な仮定の下で積分問題を解決するとともに、ポisson群体双対性および還元理論を拡張する。

ABSTRACT

Lie theory for the integration of Lie algebroids to Lie groupoids, on the one hand, and of Poisson manifolds to symplectic groupoids, on the other, has undergone tremendous developements in the last decade, thanks to the work of Mackenzie-Xu, Moerdijk-Mrcun, Cattaneo-Felder and Crainic-Fernandes, among others. In this thesis we study - part of - the categorified version of this story, namely the integrability of LA-groupoids (groupoid objects in the category of Lie algebroids), to double Lie groupoids (groupoid objects in the category of Lie groupoids) providing a first set of sufficient conditions for the integration to be possible. Mackenzie's double Lie structures arise naturally from lifting processes, such as the cotangent lift or the path prolongation, on ordinary Lie theoretic and Poisson geometric objects and we use them to study the integrability of quotient Poisson bivector fields, the relation between "local" and "global" duality of Poisson groupoids and Lie theory for Lie bialgebroids and Poisson groupoids.

研究の動機と目的

• LA-群体を二重リー群体に積分するための関手的枠組みの構築。
• ポアソン群体作用の下でのポアソン多様体上の商ポアソン双ベクトル場の積分可能性の取り扱い。
• リー代数双体に対するリーの定理の一般化、特にコイサイトリック部分代数群体および写像の積分可能性の証明。
• 二重リー構造を通じて、ポアソン群体における局所的および大域的双対性の統一。
• モーメント写像とホモトピー延長を用いた、ポアソン群体作用の積分問題に対する構成的解決法の提供。

提案手法

• 型写像作用を、リー代数群とリー群体の圏における群体的作用として形式化する。
• ポアソンG空間に関連するモーメント写像に、Marsden-Weinsteinの還元を適用する。
• ポアソンG空間の余接上りを構成し、リー代数群ホモトピー空間への作用を延長する。
• ホモトピー空間への延長作用を用いて、必要十分な積分可能性条件を導出する。
• 関手的積分法を用いて、LA-群体の積分とシンプレクティック二重群体との関係を確立する。
• Cattaneo-XuおよびWeinsteinの先行結果を拡張するため、新しいホモトピー論的アプローチを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下でLA-群体は二重リー群体に積分可能となるか？
• RQ2 ポアソン群体作用の下で、ポアソン多様体上の商ポアソン構造はどのように積分可能となるか？
• RQ3 モーメント写像は、ポアソン群体作用の積分において果たす役割は何か？
• RQ4 余接上りとホモトピー空間への作用の延長は、積分可能性基準をどのように導くか？
• RQ5 関手的アプローチは、ポアソン群体における局所的および大域的双対性を統一できるか？

主な発見

• この論文は、リー代数双体の積分に関する先行結果を一般化した、LA-群体を二重リー群体に積分するための関手的枠組みを確立する。
• リー代数群ホモトピーへの作用の延長を用いて、ポアソン群体作用の積分に関する必要十分な条件を提示する。
• 余接上りとホモトピー延長による構成は、自然な仮定の下で積分問題に対する肯定的解決をもたらす。
• このアプローチは、リー群作用の場合はシンプレクティゼーション関手を再現し、Fernandes-Ortega-Ratiuの最近の研究に対する新たな視点を提供する。
• コイサイトリック部分代数群体および写像の積分可能性を証明する意味で、リーの第一および第二の定理をリー代数双体へと拡張する。
• この方法は、商ポアソン双ベクトル場の積分を効果的に解決し、体系的かつ効果的な手続きを提供する。