[論文レビュー] On morphisms of compact Kähler manifolds with semi-positive holomorphic sectional curvature

Shin‐ichi Matsumura|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、半正の正則ホロモルフィック断面曲率をもつコンパクトKähler多様体について、その構造定理を確立する。具体的には、擬効率的標準束をもつ多様体への準同型写像が常に滑らか（部分被覆写像）であることを示し、像は複素トーラスの有限エタール被覆をもつこと、および多様体が射影的である場合にはファイバーが同型であることを示す。Yauの予想を一般化し、真に平坦な接ベクトルが存在しない場合、このような多様体は有理的連結的であることを示し、半正の正則ホロモルフィック断面曲率をもつコンパクトKähler曲面についての均質化定理も証明する。

ABSTRACT

In this paper, with the aim of establishing a structure theorem for a compact Kähler manifold $X$ with semi-positive holomorphic sectional curvature, we study a morphism $ϕ: X o Y$ to a compact Kähler manifold $Y$ with pseudo-effective canonical bundle. We prove that the morphism $ϕ$ is always smooth (that is, a submersion), the image $Y$ admits a finite etale cover $T o Y$ by a complex torus $T$, and further that all the fibers are isomorphic when $X$ is projective. Moreover, by applying a modified method to maximal rationally connected fibrations, we show that $X$ is rationally connected, if $X$ is projective and $X$ has no truly flat tangent vectors at some point (which is satisfied when the holomorphic sectional curvature is quasi-positive). This result gives a generalization of Yau's conjecture. As a further application, we obtain a uniformization theorem for compact Kähler surfaces with semi-positive holomorphic sectional curvature.

研究の動機と目的

• 半正の正則ホロモルフィック断面曲率をもつコンパクトKähler多様体についての構造定理を確立すること。
• 正の正則ホロモルフィック断面曲率をもつ多様体についてYauの予想における有理的連結性を一般化すること。
• Mokの準正の双断面曲率に関する結果を、正則ホロモルフィック断面曲率の設定へと拡張すること。
• このような多様体から擬効率的標準束をもつコンパクトKähler多様体への写像の幾何を調査すること。
• 半正の正則ホロモルフィック断面曲率をもつコンパクトKähler曲面についての均質化定理を証明すること。

提案手法

• 半正の正則ホロモルフィック断面曲率をもつコンパクトKähler多様体 X から、擬効率的標準束をもつコンパクトKähler多様体 Y への写像 φ:X→Y を分析する。
• 最大有理的連結ファイブレーション（MRCファイブレーション）に修正された手法を適用し、像の次元とファイバー構造を研究する。
• 真に平坦な接ベクトルの最大次元を測る不変量 n_tf(X,g) を導入する。ここで n_tf(X,g) := dim X − inf_p dim V_flat,p である。
• 真に平坦な接ベクトルとRC正則性の概念を用い、曲率の正則性と有理的連結性の関係を結びつける。
• 古典的Ehresmann定理を適用し、楕円曲線上の被覆曲面の普遍被覆が C×P¹ であることを示す。
• Cao-Höring [CH17] の構造定理を、反標準束がnefであるという仮定の下で適用し、予想1.3の確認を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半正の正則ホロモルフィック断面曲率をもつコンパクトKähler多様体の最大有理的連結ファイブレーションは、常に準同型写像として選べるか？
• RQ2 MRCファイブレーションにおける像の接バンドルの引き戻しは、積分可能なファイブレーションを定めるか？
• RQ3 MRCファイブレーションのファイバーは、n_tf不変量が次元に等しくなるようなKähler計量をもつか？
• RQ4 このようなファイブレーションについて、dim X = dim Y + n_tf(X,g) が成り立つか？
• RQ5 半正の正則ホロモルフィック断面曲率をもつコンパクトKähler多様体が、自動的に射影的かつ有理的連結的であるための条件は何か？

主な発見

• X が半正の正則ホロモルフィック断面曲率をもち、Y が擬効率的標準束をもつとき、写像 φ:X→Y は常に滑らか（部分被覆写像）である。
• 像 Y は複素トーラス T の有限エタール被覆をもつため、Y は有限分岐被覆の意味でアーベル多様体である。
• X が射影的であるとき、写像のすべてのファイバーは同型であり、局所的に自明なファイブレーション構造をもつ。
• n_tf(X,g) = dim X ならば X は有理的連結的であり、これはホロモルフィック断面曲率が準正のときに成立する。
• 半正の正則ホロモルフィック断面曲率をもつコンパクトKähler曲面について、均質化定理が確立され、それが楕円曲線上の被覆曲面である場合、普遍被覆は C×P¹ であることが示された。
• 定理1.4とCao-Höringの構造定理を組み合わせることで、反標準束がnefである射影的多様体について、予想1.3が肯定的に解決された。