[論文レビュー] On multilinearity and skew-symmetry of certain symbols in motivic cohomology of fields

Sung Myung|ArXiv.org|Jan 9, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、体のGoodwillie-Lichtenbaumモチビックコhomology複体における記号の多重線形性と歪対称性を確立し、次数・重みが等しい場合のモチビックコhomologyとMilnor K-理論の明示的同型を提供する。これらの性質は $ H^{l-1}_{\mathcal{M}}(\operatorname{Spec} k, \mathbb{Z}(l)) $ の既約記号に対して成り立つことが示され、行列式の公式 $ \det(AB) = \det A \cdot \det B $ を高次モチビック記号へ一般化する。

ABSTRACT

The purpose of the present article is to show the multilinearity for symbols in Goodwillie-Lichtenbaum complex in two cases. The first case shown is where the degree is equal to the weight. In this case, the motivic cohomology groups of a field are isomorphic to the Milnor's K-groups as shown by Nesterenko-Suslin, Totaro and Suslin-Voevodsky for various motivic complexes, but we give an explicit isomorphism for Goodwillie-Lichtenbaum complex in a form which visibly carries multilinearity of Milnor's symbols to our multilinearity of motivic symbols. Next, we establish multilinearity and skew-symmetry for irreducible Goodwillie-Lichtenbaum symbols in H^{l-1} (Spec k, Z(l)). These properties have been expected to hold from the author's construction of a bilinear form of dilogarithm in case k is a subfield of the field of complex numbers and l=2. Next, we establish multilinearity and skew-symmetry for Goodwillie-Lichtenbaum symbols in H^{l-1} (Spec k, Z(l)). These properties have been expected to hold from the author's construction of a bilinear form of dilogarithm in case k is a subfield of the field of complex numbers and l=2. The multilinearity of symbols may be viewed as a generalization of the well-known formula det(AB) = det(A) det(B) for tuples of commuting matrices.

研究の動機と目的

• 体のGoodwillie-Lichtenbaumモチビックコhomology複体における記号の多重線形性と歪対称性を確立すること。
• モチビックコhomology $ H^n_{\mathcal{M}}(\operatorname{Spec} k, \mathbb{Z}(n)) $ とMilnor K-理論 $ K^M_n(k) $ の間の直接的かつ明示的な同型を構成し、多重線形性が顕著に保存されることを示すこと。
• 特に $ l=2 $ の場合に、$ H^{l-1}_{\mathcal{M}}(\operatorname{Spec} k, \mathbb{Z}(l)) $ の既約記号に対し、これらの性質を拡張すること。これにより、レギュレーター写像からの期待される振る舞いと整合する。
• Goodwillie-Lichtenbaum複体に対するNesterenko-Suslinの定理の新たな証明を提示し、それがモチビックコhomologyにおける基礎的役割を強化すること。

提案手法

• 単体的環 $ R\Delta^\bullet $ に対して、Grothendieck群 $ K_0(R\Delta^d, \mathbb{G}_m^{\wedge l}) $ を用いてGoodwillie-Lichtenbaumモチビック複体を構成し、任意の自己同型が自明であるような類を商取る。
• 単体的構造 $ R\Delta^\bullet $ を用いて、体のモチビックコhomologyを計算するホモロジーのハイパーコホモロジーとして定義されるチェーン複体を定義する。
• 行列式の構成を $ GL_n(k[t]) $ 内で明示的に用い、記号のホモトピー的挙動、特に $ t=0 $ と $ t=1 $ での挙動を追跡する。
• $ K_0 $-群における恒等式 $ (A(t)B(t)) = (A(0)B(0)) $ を用いて、モチビックコhomologyにおける表現可能性をテストし、多重線形性が成り立たない場合に失敗することを示す。
• ブロック行列に関する重要な恒等式を用いて歪対称性を導出し、$ \theta_2(t) $ を $ \theta_1(t) $ のコピーに置き換えることでキャンセルを誘発する。
• 非退化な挙動を保証するため、置換に対する自己同型の下での非退化性を保証するため、既約性条件に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Goodwillie-Lichtenbaumモチビック複体は、$ H^n_{\mathcal{M}}(\operatorname{Spec} k, \mathbb{Z}(n)) $ の記号に対して多重線形性を示すか。もし成り立つならば、Milnor K-理論とどのように整合するか？
• RQ2 既約記号 $ H^{l-1}_{\mathcal{M}}(\operatorname{Spec} k, \mathbb{Z}(l)) $ に対して、多重線形性と歪対称性を確立できるか。特に $ l=2 $ の場合に、それらはレギュレーター写像とどのように関係するか？
• RQ3 Goodwillie-Lichtenbaum複体を介して、$ H^n_{\mathcal{M}}(\operatorname{Spec} k, \mathbb{Z}(n)) $ と $ K^M_n(k) $ の間の明示的同型が、多重線形性を顕著に保存する形で構成可能か？
• RQ4 記号 $ (\theta_1(t), \dots, \theta_l(t)) $ がモチビックコhomologyのwell-definedな類を定めるための条件は何か。また、既約性はその条件にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿は、$ H^n_{\mathcal{M}}(\operatorname{Spec} k, \mathbb{Z}(n)) $ の記号に対して多重線形性を証明し、行列式の乗法性 $ \det(AB) = \det A \cdot \det B $ を一般化するように、記号写像が行列乗法の加法的性質を保つことを示す。
• Goodwillie-Lichtenbaum複体に対するNesterenko-Suslinの定理の直接的証明を提示し、$ H^n_{\mathcal{M}}(\operatorname{Spec} k, \mathbb{Z}(n)) \cong K^M_n(k) $ の同型が、多重線形性を顕著に保存する形で確立される。
• ブロック行列に関する恒等式と $ K_0 $ 内のキャンセルを用いて、$ H^{l-1}_{\mathcal{M}}(\operatorname{Spec} k, \mathbb{Z}(l)) $ の既約記号に対して歪対称性を確立し、添え字の交換により $ (\theta_1, \dots, \theta_l) = - (\theta_j, \dots, \theta_i, \dots) $ が成り立つことを証明する。
• 体 $ k \subset \mathbb{C} $、$ l=2 $ の場合に、二重対数形式の双線形形式が、本稿で証明された歪対称性および多重線形性の性質と整合することが示される。
• 多重線形性の不成立は反例により示される：$ A(0)B(0) \neq A(1)B(1) $ であるホモトピー $ A(t)B(t) $ が $ K_0(k, \mathbb{G}_m^{\wedge 1}) $ 内に存在し、$ (A(t)B(t)) $ が $ H^0_{\mathcal{M}}(\operatorname{Spec} k, \mathbb{Z}(1)) $ の類を定めないことを示す。
• 歪対称性の証明における既約性仮定は、特性 0 条件に置き換え可能であり、これにより自己同型の置換下でも記号が非退化のままであることが保証される。