[論文レビュー] On multiple peaks and moderate deviations for supremum of Gaussian field

Jian Ding, Ronen Eldan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2013

Theoretical and Computational Physics参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、中心化ガウス場におけるChatterjeeの複数ピーク定理に対して定量的な改善を示し、非負の相関仮定を排除するとともに、上位の最大値に近い値をとるほぼ直交するサイトの数に対する $\exp(c/\sigma^2)$ のオーダーの指数的バウンドを提供する。さらに、期待最大値が独立な場合と同程度のオーダーである条件の下で、古典的なガウス濃縮不等式を上回る中程度の偏差上界を導出する。

ABSTRACT

We prove two theorems concerning extreme values of general Gaussian fields. Our first theorem concerns with the concept of multiple peaks. A theorem of Chatterjee states that when a centered Gaussian field admits the so-called superconcentration property, it typically attains values near its maximum on multiple near-orthogonal sites, known as multiple peaks. We improve his theorem in two aspects: (i) the number of peaks attained by our bound is of the order $\exp(c / σ^2)$ (as opposed to Chatterjee's polynomial bound in $1/σ$), where $σ$ is the standard deviation of the supremum of the Gaussian field, which is assumed to have variance at most $1$ and (ii) our bound need not assume that the correlations are non-negative. We also prove a similar result based on the superconcentration of the free energy. As primary applications, we infer that for the S-K spin glass model on the $n$-hypercube and directed polymers on $\mathbb{Z}_n^2$, there are polynomially (in $n$) many near-orthogonal sites that achieve values near their respective maxima. Our second theorem gives an upper bound on moderate deviation for the supremum of a general Gaussian field. While the Gaussian isoperimetric inequality implies a sub-Gaussian concentration bound for the supremum, we show that the exponent in that bound can be improved under the assumption that the expectation of the supremum is of the same order as that of the independent case.

研究の動機と目的

• 超濃縮ガウス場における複数ピークの数が多項式バウンドを超えて定量的に改善可能かどうかという未解決問題に取り組む。
• 複数ピーク現象における制限的仮定である非負の相関を排除し、一般ガウス場への適用範囲を拡大する。
• 一般ガウス場の最大値に対する中程度の偏差上界を確立し、古典的なサブガウス濃縮バウンドを上回る。
• 上位最大値の濃縮構造と、対応する場のサポートの幾何的および等周的性質との関連を明らかにする。
• S-Kスピンガラスや $\mathbb{Z}^2$ 上の指向的ポリマーといった代表的モデルに結果を適用し、ほぼ直交する最大値の数が多項式的に存在することを示す。

提案手法

• 共面積公式とガウス等周的不等式を用いて、最大値の分散とレベル集合の表面測度を関連付ける新しい確率的バウンドを導出する。
• 関数 $u(x) = \sup_{i \in [N]} \langle x, v_i \rangle$（$|v_i| = 1$）に共面積公式を適用し、$|\nabla u| = 1$ almost everywhere である事実を活用する。
• ガウス測度の対数凸性とマルコフの不等式を用いて、レベル集合 $K_t = \{x : u(x) = t\}$ の表面測度 $\gamma^+(K_t)$ を制御する。
• 射影された面 $F_i$ 及びそれらの外向き延長 $\tilde{F}_i$ を用いた幾何的構成を導入し、全表面測度をバウンドする。
• レベル集合の表面測度 $L(K)$ を用いて、最大値の分散の下界を $\sqrt{\mathrm{Var}(\sup X_i)} \geq c \cdot L(K)^{-1}$ として確立する。ここで $L(K)$ はレベル集合の表面測度を表す。
• この下界と、$\mathbb{E}[\sup X_i]$ に関する $L(K)$ の新しい上界 $L(K) \leq C \cdot \mathbb{E}[\sup X_i]$ を組み合わせ、絶対定数 $C$ を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超濃縮ガウス場における複数ピークの数は、$1/\sigma^2$ の多項式的オーダーから指数的オーダー $\exp(\text{const}/\sigma^2)$ に改善可能か？
• RQ2 ガウス場に非負の相関仮定がなくても、複数ピーク現象は成立するか？
• RQ3 ガウス場の最大値の中程度の偏差尾部が、古典的なサブガウスバウンドを超えて改善可能となる条件は何か？
• RQ4 高次元ガウス場において、期待最大値はレベル集合の表面測度といった幾何的量とどのように関連するか？
• RQ5 S-Kスピンガラスや指向的ポリマーといった代表的モデルは、超濃縮のため、多項式的に多くのほぼ直交する最大値を示すか？

主な発見

• 高確率で、期待最大値から $\delta_N$ 以内の値をとるほぼ直交するサイトの数は、$\exp\left(\frac{C_2 \varepsilon_N^2 \delta_N \zeta_N}{m(\mathbf{X}_N) \sigma_N^2 \hat{\sigma}_N^2}\right)$ 以上である。ここで $\varepsilon_N$ はほぼ直交性を制御し、$\zeta_N$ は信頼パラメータである。
• Chatterjeeの多項式的バウンド $(\delta_N \varepsilon_N / (m \hat{\sigma}^2))^{1/3}$ を超えて、$1/\sigma^2$ の指数的オーダーに改善された。
• 非負の相関仮定を一切仮定せず、一般ガウス場への複数ピーク現象の拡張が可能である。
• $n$-超立方体上のS-Kスピンガラスおよび $\mathbb{Z}_n^2$ 上の指向的ポリマーにおいて、ほぼ直交する最大値の数は $n$ に関して多項式的であることが確認され、複数ピーク構造が成立する。
• 中程度の偏差上界が確立された：期待最大値が独立な場合と同程度のオーダーであるとき、尾確率 $\mathbb{P}(\sup X_i - \mathbb{E}[\sup X_i] \geq z)$ はサブガウスよりも速く減少する。
• 最大値の分散は $\sqrt{\mathrm{Var}(\sup X_i)} \geq c \cdot L(K)^{-1}$ を満たし、$L(K) \leq C \cdot \mathbb{E}[\sup X_i]$ が成り立つ。幾何的測度と濃縮の関係が結びつけられる。