[論文レビュー] On Néron models, divisors and modular curves

Bas Edixhoven|ArXiv.org|Jun 15, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、モジュラー曲線 $X_0(p)$ のヤコビアンのネロンモデルを調査し、アーベル・ヤコビ写像による曲線の滑らかでない部分の像に注目する。レイノーの正則モデルと二重点における不変量を用いたネロンモデルの記述を用い、$p > 13$ で $X_0(p)_{\mathbb{Q}}$ の genus が 2 以上である場合、特殊ファイバーの像と $f(0)$ で生成される群の閉包の交わりが、ちょうど二点 $f(0)_p$ と $f(\infty)_p$ であることを証明する。これはコールマンが提起した問いを解決する。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number such that the modular curve $X_0(p)$ has genus at least two. We show that the only points of the reduction mod $p$ of $X_0(p)$ with image in the reduction mod $p$ of $J_0(p)$ in the cuspidal group are the two cusps. This answers a question of Robert Coleman. For the proof we give a description of the special fibre of the Néron model of the jacobian of a semi-stable curve in terms of divisors. We also study to what extent the morphism from a semistable curve with given base point to the Néron model of its jacobian is a closed immmersion. Implicitly, logarithmic structures intervene, and a well-known modular form of weight $p+1$ on supersingular elliptic curves plays an important role.

研究の動機と目的

• ロバート・コールマンが提起した、$X_0(p)^{\sim,0}$ の特殊ファイバーの像がアーベル・ヤコビ写像で写されたものと、$J_0(p)$ のネロンモデルにおける $f(0)$ で生成される群の閉包との交わりを解明すること。
• ロバートのネロンモデルの記述を、特に半安定の場合に、対応する二重点における不変量を含む形に拡張すること。これには対数構造と変形論を用いる。
• 正則で完全なノーダル曲線の滑らかでない部分からそのネロンモデルへの準同型が閉埋め込みであるための正確な条件を同定すること。
• 成分群 $\Phi^\sim / \Phi$ の構造を、成分のグラフと二重点における $e(x)$-不変量を用いて特徴づけること。

提案手法

• 曲線の正則モデルの相対ピック群関手によるヤコビアンのネロンモデルの表現を用いる。
• ホモロジー群 $H_1(G, \mathbb{Z})$ と境界写像の核・余核を用いて、成分群 $\Phi$ 及びその拡張 $\Phi^\sim$ のグラフ論的記述を適用する。
• 二重点 $x$ における不変量 $c(x)$ を導入し、局所方程式 $uv = \pi^{e(x)}$ における $e(x)$-不変量と関連付ける。
• モジュラー形式の重さ $p+1$ を用いて、モジュラー曲線 $X_0(p)$ の $e(x)$-不変量を特定する。
• 価値の基準を適用し、グローバルと局所の変形空間を比較することで、特化における点の振る舞いを分析する。
• 写像 $\Phi^\sim / \Phi \cong \left( \bigoplus_x \mathbb{Z}/e(x)\mathbb{Z} \right) / \operatorname{im}(d^*)$ を用いて、成分群における点の像を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの素数 $p$ に対して、$X_0(p)^{\sim,0}_p$ のアーベル・ヤコビ写像 $f$ による像と $f(0)$ で生成される群の閉包との交わりが、ちょうど $f(0)_p$ と $f(\infty)_p$ に一致するか？
• RQ2 正則で完全なノーダル曲線の滑らかでない部分 $X^{0}$ からそのヤコビアンのネロンモデルへの準同型が閉埋め込みであるための条件は何か？
• RQ3 特殊ファイバーの二重点における不変量 $e(x)$ は、成分群 $\Phi^\sim / \Phi$ の構造とどのように関係するか？
• RQ4 重さ $p+1$ のモジュラー形式は、$X_0(p)$ の $e(x)$-不変量を決定するために果たす役割は何か？
• RQ5 非分離的二重点 $y$ に対して、写像 $\mathbb{Z}/e(y)\mathbb{Z} \to \Phi^\sim / \Phi$ が単射であるのはいつか？

主な発見

• すべての素数 $p$ に対して、$X_0(p)_{\mathbb{Q}}$ の genus が 2 以上であるとき、$f$ による $X_0(p)^{\sim,0}_p$ の像と $f(0)$ で生成される群の閉包との交わりは、ちょうど二点 $f(0)_p$ と $f(\infty)_p$ である。
• 曲線 $X_{\bar{k}}$ のすべての二重点が非分離的であり、かつすべての素数 $p$ に対して、各非分離的二重点 $y$ が、$v_p(e(x)) \leq v_p(e(y))$ を満たすすべての $y$ を含むループ内にあるとき、$f: X^{0} \to J$ は閉埋め込みである。
• 成分群 $\Phi^\sim / \Phi$ は、$\left( \bigoplus_x \mathbb{Z}/e(x)\mathbb{Z} \right) / \operatorname{im}(d^*)$ に同型であり、ここで $d^*$ は成分のグラフ上のコ境界写像である。
• 点 $Q \in X(K)$ が非分離的二重点 $y$ に特化するとき、その像は $\mathbb{Z}/e(y)\mathbb{Z}$ の類 $\bar{i}$ にマッピングされ、ここで $i$ は解体鎖における成分のインデックスである。
• $\mathbb{Z}/e(y)\mathbb{Z} \to \Phi^\sim / \Phi$ の単射性は、$y$ を含むループが存在し、そのループ内のすべての $x$ に対して $v_p(e(y)) \leq v_p(e(x))$ が成り立つことと同値である。ここで $p$ は任意の素数である。
• 正則で完全なノーダル曲線に対して、$f: X^0 \to J$ が閉埋め込みであるための必要十分条件は、$X_{\bar{k}}$ のすべての二重点が非分離的であることである。