[論文レビュー] On Navier-Stokes-Korteweg and Euler-Korteweg Systems: Application to Quantum Fluids Models

Didier Bresch, Marguerite Gisclon+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、BD関係を満たす密度に依存する粘性を持つナビエ＝ストークス＝コルトエーグおよびオイラー＝コルトエーグ系に相対エントロピー法を拡張し、弱解と強い解の一意性を保証するとともに、量子ナビエ＝ストークス系の全局的弱解が粘性が消える際に量子オイラー系の散逸解に収束することを証明した。主な貢献は、拡張された系を導入することで相対エントロピーの定式化を単純化し、先行研究に比べてキャピラリー係数に関する仮定を軽減したことである。

ABSTRACT

In this paper, the main objective is to generalize to the Navier-Stokes-Korteweg (with density dependent viscosities satisfying the BD relation) and Euler-Korteweg systems a recent relative entropy [proposed by D. Bresch, P. Noble and J.--P. Vila, (2016)] introduced for the compressible Navier-Stokes equations with a linear density dependent shear viscosity and a zero bulk viscosity. As a concrete application, this helps to justify mathematically the convergence between global weak solutions of the quantum Navier-Stokes system [recently obtained simultaneously by I. Lacroix-Violet and A. Vasseur (2017)] and dissipative solutions of the quantum Euler system when the viscosity coefficient tends to zero: This selects a dissipative solution as the limit of a viscous system. We also get weak-strong uniqueness for the Quantum-Euler and for the Quantum-Navier-Stokes equations. Our results are based on the fact that Euler-Korteweg systems and corresponding Navier--Stokes-Korteweg systems can be reformulated through an augmented system such as the compressible Navier-Stokes system with density dependent viscosities satisfying the BD algebraic relation. This was also observed recently [by D. Bresch, F. Couderc, P. Noble and J.--P. Vila, (2016)] for the Euler-Korteweg system for numerical purposes. As a by-product of our analysis, we show that this augmented formulation helps to define relative entropy estimates for the Euler Korteweg systems in a simplest way compared to recent works [See D. Donatelli, E. Feireisl, P. Marcati (2015) and J. Giesselmann, C. Lattanzio, A.-E. Tzavaras (2017)] with less hypothesis required on the capillary coefficient.

研究の動機と目的

• 密度に依存する粘性を有する圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の相対エントロピー枠組みを、ナビエ＝ストークス＝コルトエーグおよびオイラー＝コルトエーグ系へ一般化すること。
• 量子ナビエ＝ストークス系の全局的弱解が、粘性がゼロに近づく際に量子オイラー系の散逸解に収束することを正当化すること。
• 相対エントロピー法を用いて、量子オイラー方程式および量子ナビエ＝ストークス方程式の弱解と強い解の一意性を確立すること。
• 拡張された系の定式化を導入することで、オイラー＝コルトエーグ系に対する相対エントロピー推定を単純化し、先行研究に比べてキャピラリー係数に関する仮定を減らすこと。

提案手法

• 著者らは、密度に依存する粘性を有するBD代数的関係を満たす拡張された圧縮性ナビエ＝ストークス系として、オイラー＝コルトエーグおよびナビエ＝ストークス＝コルトエーグ系を再定式化した。
• 最近開発された相対エントロピー枠組み（元来は線形密度依存粘性と零の体積粘性を想定）を、この拡張された系に適用した。
• 相対エントロピー関数は、粘性系の弱解と非粘性系の強い解との間の距離を測るためのものである。
• この手法は、拡張された系の構造を活用してエネルギー型不等式を導出し、相対エントロピーの時間発展を制御することに依存する。
• 重要な推定には、$ \varepsilon^2 \rho \nabla \left( K(\rho)\Delta\rho + \frac{1}{2}K'(\rho)|\nabla\rho|^2 \right) $ というキャピラリー項が含まれており、$ K(\rho) = \rho^s $、$ -1 \leq s \leq 0 $ とすることで、可積分性と収束性を保証する。
• 解析により、粘性の消失が一意な散逸解を選択することを証明し、粘性系の弱解が非粘性系の散逸解へと対応づけられることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度に依存する粘性を有するBD関係を満たすオイラー＝コルトエーグおよびナビエ＝ストークス＝コルトエーグ系に、相対エントロピー法を拡張できるか？
• RQ2 粘性係数がゼロに近づく際に、量子ナビエ＝ストークス系の全局的弱解が、量子オイラー系の散逸解に収束するか？
• RQ3 この相対エントロピー枠組みを用いて、量子オイラー方程式および量子ナビエ＝ストークス方程式の弱解と強い解の一意性を確立できるか？
• RQ4 拡張された系の定式化は、先行手法と比較してオイラー＝コルトエーグ系に対する相対エントロピー推定をどのように単純化するか？
• RQ5 相対エントロピー推定が成立するためのキャピラリー係数 $ K(\rho) $ に対する最小限の仮定は何か？

主な発見

• 密度に依存する粘性を有するBD関係を満たすナビエ＝ストークス＝コルトエーグおよびオイラー＝コルトエーグ系に、相対エントロピー枠組みが成功裏に拡張された。
• 量子ナビエ＝ストークス系の全局的弱解が、粘性係数がゼロに近づく際に、量子オイラー系の散逸解に収束することが示された。
• 相対エントロピー法を用いて、量子オイラー方程式および量子ナビエ＝ストークス方程式の弱解と強い解の一意性が確立された。
• 拡張された系の定式化により、キャピラリー係数 $ K(\rho) $ に関する仮定を著しく軽減した相対エントロピー推定が可能になった。特に $ K(\rho) = \rho^s $ で $ -1 \leq s \leq 0 $ の場合に顕著である。
• 指定された $ K(\rho) $ の下で $ \mathcal{E}_{\text{EuK}}^{\text{GLT}} = 0 $ ならば $ \mathcal{E}_{\text{EuK}} = 0 $ が成り立つことが示され、相対エントロピーとその一般化形との等価性が保証された。
• 解析により、散逸解が粘性系の極限として一意に選ばれることを確認し、非粘性極限における物理的に適切な解の選択を数学的に正当化した。