[論文レビュー] On Nim-like games whose Sprague-Grundy functions are the same

Yuki Irie|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Artificial Intelligence in Games参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、同一のスプライク-グリーンジー関数を持つ組み合わせゲームに焦点を当て、繰り上がりのない混合基数加算 $\sigma^b$ と一致する Grundy 関数をもつニムの変種を考察する。このようなゲームが一意に最小のゲームを形成する条件を同定し、特に二進数系における $\Delta^b$ の中で最大のゲームを構成する。二進数系では $\Delta^b$ が完全に特定可能である。

ABSTRACT

Some games have the same Sprague-Grundy functions. For a mixed radix numeral system $b$, let $\sigma^b$ be the function that maps $(x^0, \ldots, x^{m - 1}) \in \mathbb{N}^m$ to $x^0 \oplus_b \cdots \oplus_b x^{m - 1}$, where $\oplus_b$ is addition without carry in $b$. We present variants of Nim whose Sprague-Grundy functions equal $\sigma^b$. Let $\Delta^b$ be the set of such games. When $b$ is the binary numeral system, we determine $\Delta^{b}$. In general, we give a characterization of $b$ such that $\Delta^{b}$ has a unique minimal element, and a construction of the maximum element of $\Delta^{b}$.

研究の動機と目的

• どの組み合わせゲームが同じスプライク-グリーンジー関数をもつのかを理解すること。
• 基底 $b$ に対して、 Grundy 関数が $\sigma^b$（繰り上がりのない混合基数加算）に一致するニムに類似したゲームの集合 $\Delta^b$ を特定・特徴付けること。
• $\Delta^b$ に一意な最小要素が存在する条件を特定し、その最大要素を構成すること。
• 二進数表記系の場合に $\Delta^b$ を完全に特徴付けること。

提案手法

• $\sigma^b$ を、混合基数系 $b$ における自然数の $m$ 重組み合わせの、繰り上がりのない和を表す関数として定義し、$\oplus_b$ を用いる。
• $\Delta^b$ を、スプライク-グリーンジー関数が $\sigma^b$ に一致するニムに類似したゲームの集合として定義する。
• ゲームの位置の構造的分析と Grundy 関数の性質を用いて、$\Delta^b$ 内の最小および最大ゲームを同定する。
• 基底 $b$ に対して $\Delta^b$ が一意な最小要素をもつための条件を確立する。
• $\sigma^b$ の構造に基づく再帰的ゲーム構成法を用いて、$\Delta^b$ の最大要素を構成する。
• 特徴付けを二進数系に適用し、$b$ が二進数であるとき $\Delta^b$ が完全に特定可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの基底 $b$ に対して、 Grundy 関数が $\sigma^b$ に一致するゲームの集合 $\Delta^b$ が一意な最小要素をもつのか。
• RQ2 与えられた基底 $b$ に対して、$\Delta^b$ の最大要素の構造はどのようなものか。
• RQ3 基底 $b$ が二進数表記系である場合、集合 $\Delta^b$ をどのように完全に特徴付けることができるか。
• RQ4 $b$ にどのような条件を課すと、$\Delta^b$ 内のすべてのゲームが同じ Grundy 関数 $\sigma^b$ をもつのか。
• RQ5 繰り上がりのない混合基数加算の性質は、ニムの変種のゲーム理論的構造とどのように関係するか。

主な発見

• 基底 $b$ が二進数表記系であるとき、集合 $\Delta^b$ は完全に特徴付けられ、完全に特定可能である。
• $\Delta^b$ が一意な最小要素をもつのは、混合基数表現の一意性に関連する特定の構造的条件を基底 $b$ が満たすときである。
• 任意の基底 $b$ に対して、$\Delta^b$ の最大要素を生成するための構成法が提示されている。
• スプライク-グリーンジー関数 $\sigma^b$ が、複数の異なるニムに類似したゲームの Grundy 関数として実現可能であることが示された。
• 二進数系の場合、$\Delta^b$ 内のすべてのゲームは、その移動選択肢と Grundy 値の振る舞いを通じて構造的に関連している。
• 本稿では、$\sigma^b$ の代数的性質と $\Delta^b$ のゲーム理論的性質との間の直接的な対応関係が確立された。