[論文レビュー] On non-abelian Lubin-Tate theory for GL(2) in the odd equal characteristic case

Takahiro Tsushima|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Lubin-Tate曲線におけるCM点の近傍のアフィノイドを分析し、それらの還元を計算し、アディック空間のエタールコホロジーを用いてそれらを完全なLubin-Tate空間のコホロジーと結びつけることによって、奇数の等価特徴の場合のGL(2)に対する非アーベルLubin-Tate理論の純粋な局所的・幾何的証明を確立する。主な結果は、大域的自動形式やDrinfeldモジュラー曲線に依存せずに、これらの還元のコホロジーを通じて局所Langlands対応およびJacquet-Langlands対応の幾何的実現がなされたことである。

ABSTRACT

In this paper, we define a family of affinoids in the tubular neighborhoods of CM points in the Lubin-Tate curve with suitable level structures, and compute the reductions of them in the equal characteristic case. By using etale cohomology theory of adic spaces due to Huber, we show that the cohomology of the reductions contributes to the cohomology of the Lubin-Tate curve. As an application, with the help of explicit descriptions of the local Langlands correspondence and the local Jacquet-Langlands correspondence due to Bushnell-Henniart via the theory of types, we prove the non-abelian Lubin-Tate theory for GL(2) in the odd equal characteristic case in a purely local manner. Conversely, if we admit the non-abelian Lubin-Tate theory, we can recover the explicit descriptions of the two correspondences geometrically.

研究の動機と目的

• GL(2)に対する非アーベルLubin-Tate理論を、大域的自動形式表現に依存せずに、純粋な局所的・幾何的証明で与えること。
• Lubin-Tate曲線におけるCM点近傍のアフィノイド部分域の還元を定義し、それを計算すること。
• Huberのアディック空間のエタールコホロジー理論を用いて、これらの還元のエタールコホロジーを完全なLubin-Tate曲線のコホロジーと結びつけること。
• これらの還元のコホロジーを通じて、局所Langlands対応およびJacquet-Langlands対応を幾何的に実現すること。
• 幾何的コホロジー的データから、局所Langlands対応およびJacquet-Langlands対応の明示的記述を回復すること。

提案手法

• 等価特徴の場合のLubin-Tate曲線におけるCM点近傍のアフィノイド部分域を、DrinfeldまたはIwahoriレベル構造を用いて定義する。
• これらのアフィノイドの還元を計算し、Weinsteinの先行研究と整合する3つのタイプに分類する。
• Huberのアディック空間のエタールコホロジー理論を用いて、還元のコホロジーと完全なLubin-Tate曲線のコホロジーとの間の比較定理により関係を確立する。
• Lubin-Tateタワーのガロア作用およびヘッケ作用によって誘導される還元上の群作用を分析する。
• コホロジー比較補題（補題4.5）を適用し、還元のコンパクト台付きコホロジーをLubin-Tate空間のコホロジーと関係付ける。
• フロベニウスの随伴性および特徴理論を用いて、コホロジーが群 $\boldsymbol{J}_{E,n}$ の誘導表現を通じて局所Langlands対応を実現していることを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(2)に対する非アーベルLubin-Tate理論は、奇数の等価特徴の場合に、純粋な局所的・幾何的アプローチによって証明可能か？
• RQ2 Lubin-Tate曲線におけるCM点近傍のアフィノイド部分域の還元は、Lubin-Tate空間のグローバルコホロジーにどのように寄与するか？
• RQ3 これらの還元のコホロジーから、局所Langlands対応およびJacquet-Langlands対応を幾何的に回復可能か？
• RQ4 これらのアフィノイドの還元における群作用の構造は何か？また、ガロア表現とどのように関係するか？
• RQ5 これらの還元のコホロジー群は、局所Langlands対応が予測する正しい既約表現を実現するか？

主な発見

• Lubin-Tate曲線におけるCM点近傍のアフィノイド部分域の還元は3つのタイプに分類され、そのうちの1つのタイプが各レベルで「新規成分」を形成する。
• 還元の中間コホロジーは、Huberの比較定理を通じて、完全なLubin-Tate曲線のコホロジーに非自明に寄与する。
• 還元のコホロジーは、群 $\boldsymbol{J}_{E,n}$ の誘導表現を通じて、GL(2)の局所Langlands対応を実現する。
• コホロジーから生じる明示的特徴 $\boldsymbol{\Phi}^{\iota}_{E,\chi_0}$ は、局所Langlands対応が予測する表現と一致する。
• 幾何的構成は、同一のコホロロジー的データから局所Jacquet-Langlands対応を結果として得る。
• 証明は、大域的自動形式やDrinfeldモジュラー曲線に依存せずに、GL(2)に対する非アーベルLubin-Tate理論を確立する。