[論文レビュー] On the local Langlands correspondence

Michael Harris|ArXiv.org|Apr 22, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、非アーチメデス的局所体 $F$ 上の $GL(n)$ における局所ラングランズ対応をレビューし、シュミラ多様体およびドリンフェルトの変形空間の $\ell$-進コホモロジーを用いたグローバルな証明を詳述する。対応の特徴づけは、主要な不変量の保存を通じてなされ、特にブッシュネル＝クッツコの型とガロア表現との関連を特定する純粋な局所的証明の探索が、中心的な未解決問題であることを強調する。

ABSTRACT

The local Langlands correspondence for GL(n) of a non-Archimedean local field $F$ parametrizes irreducible admissible representations of $GL(n,F)$ in terms of representations of the Weil-Deligne group $WD_F$ of $F$. The correspondence, whose existence for $p$-adic fields was proved in joint work of the author with R. Taylor, and then more simply by G. Henniart, is characterized by its preservation of salient properties of the two classes of representations. The article reviews the strategies of the two proofs. Both the author's proof with Taylor and Henniart's proof are global and rely ultimately on an understanding of the $\ell$-adic cohomology of a family of Shimura varieties closely related to GL(n). The author's proof with Taylor provides models of the correspondence in the cohomology of deformation spaces, introduced by Drinfeld, of certain $p$-divisible groups with level structure.

研究の動機と目的

• 非アーチメデス的局所体 $F$ 上の $GL(n,F)$ における局所ラングランズ対応のグローバルなコホモロジー的証明をレビュー・比較すること、特にハリス＝テイラーおよびヘニアルトの証明を対象とする。
• グローバルな自動形式的または算術的幾何学に依存しない、純粋な局所的構成の探索を動機づけること。
• 特に $p$-進および $\ell$-進コホモロジーにおける $p$-除的群のモジュライ空間のコホモロジー的実現としての局所ラングランズ対応を検討すること。
• ブッシュネル＝クッツコの型によってパラメトライズされる超臨界表現と、それらのガロア的対応物との関係を調査すること。
• ヴィニャーレスのモジュラー局所ラングランズ対応が、$p$-進または $\ell$-進コホモロジーにおいて、コホモロジー的実現を受ける程度を検討すること。

提案手法

• $GL(n)$ に関連するシュミラ多様体の $\ell$-進コホモロジーに基づくグローバルな手法を用いる。特に、$p$-除的群のレベル構造付きドリンフェルトの変形空間に関連するものである。
• コンパクト中心部分群 $H \subset GL(n,F)$ からのコンパクト誘導によるタイプ理論を適用し、表現 $\rho$ を用いて超臨界表現をパラメトライズする。
• ガロア側としてのウェイユ＝デリーニュ群 $WD_F$ を用い、フロベニウスの半単純作用とユニポテンツモノドロミーを備える。
• バーナンスタイン＝ツェレヴィンスキーの還元を用い、$\mathcal{A}_0(n,F)$ および $\mathcal{G}_0(n,F)$ の場合に限り対応を還元する。
• 超臨界表現の分布的特性 $\chi_\pi$ と、トレース公式および特性恒等式を通じてガロア表現との関係を分析する。
• $p$-進および剛体コホモロジーにおけるコホモロジー的実現を検討し、特に $\tilde{\Omega}^n_F$ および $\mathcal{M}^{n}_{LT,F}$ に対して、$\mathrm{mod}\,p$ 表現の $p$-進変形を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所ラングランズ対応は、グローバルな自動形式的または算術的幾何学に依存せずに、純粋に局所的に構成可能だろうか？
• RQ2 超臨界表現 $\pi$ のブッシュネル＝クッツコの型 $(H,\rho)$ から直接的にガロア表現 $\sigma(\pi)$ を定義する方法は何か？
• RQ3 ヴィニャーレスのモジュラー局所ラングランズ対応は、$p$-進または $\ell$-進コホモロジーにおいてコホモロジー的実現を受けるだろうか？
• RQ4 特に $n$ が $p$ と素であるとき、分布的特性 $\chi_\pi$ とガロア表現 $\sigma(\pi)$ の正確な関係は何か？
• RQ5 $\tilde{\Omega}^n_F$ や $\mathcal{M}^{n}_{LT,F}$ 内に、タイプ $(H,\rho)$ が部分複体または部分多様体として実現可能であるか。そのコホモロジーが対応を実現するだろうか？

主な発見

• $GL(n,F)$ における局所ラングランズ対応は、グローバルな手法によって確立された。ハリス＝テイラーはシュミラ多様体およびドリンフェルトの変形空間の $\ell$-進コホモロジーを用い、ヘニアルトは同様のコホモロジー的枠組みを用いてより単純な証明を与えた。
• 対応は、中心的特性およびアーチン導手の保存、および非分岐特性によるねじれの整合性によって一意に特徴づけられる。
• ヘニアルトにより、数論的局所ラングランズ対応 $|\mathcal{A}_0(n,F)[a]| = |\mathcal{G}_0(n,F)[a]|$ が証明され、固定導手を持つ軌道のレベルで双対性の存在が確立された。
• $n=2$ の場合、キャラクター展開における係数 $a_\pi(K,\xi)$ の非ゼロ性は、チュネルおよびサイトウにより、局所 $\varepsilon$-因子 $\varepsilon(\frac{1}{2}, \sigma(\pi) \otimes \xi^{-1}, \psi)$ に関連づけられた。
• レイマンの予想（モイによる）は、$n$ が $p$ と素であるとき、分布的特性 $\chi\!_\pi$ を $\sigma(\pi)$ で表すものであり、ブッシュネルとヘニアルトによる進行中の研究により、二次的非分岐ねじれまで成立する可能性がある。
• ジェネスティエとストロウは、$n=2$ の場合に、特定のタイプ $(H,\rho)$ が $\mathcal{M}^{n}_{LT,F}$ のコホモロジー内に実現可能であると発表しており、タイプのコホモロジー的実現を支持する。