[論文レビュー] On non-commuting sets and centralizers in infinite group

Mohammad Zarrin|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の正の整数 $ n $ に対して、$ \omega(G) = n $ を満たす群 $ G $ について、同型的同型（isoclinism）による同値類として有限個しか存在しないことを確立している。ここで $ \omega(G) $ は、互いに可換でない要素の最大集合のサイズを表す。同型的同型とPyberおよびSchurの結果を活用することで、このような群は中心を含む有限群（center-by-finite）であり、有限代表元を有することを示し、$ \omega(G) \leq 20 $ で解けた明確な閾値が得られる。結果は、$ \mathcal{C}_n $-群（$ n $ 個の中心化子をもつ群）へと拡張され、同型的同型類が有限個であり、$ n = 20 $ まで解けることが示された。

ABSTRACT

A subset X of a group G is a set of pairwise non-commuting ele- ments if ab 6= ba for any two distinct elements a and b in X. If jXj ? jY j for any other set of pairwise non-commuting elements Y in G, then X is said to be a maximal subset of pairwise non-commuting elements and the cardinality of such a subset is denoted by !(G). In this paper, among other thing, we prove that, for each positive integer n, there are only finitely many groups G, up to isoclinic, with !(G) = n (with exactly n centralizers).

研究の動機と目的

• 固定された数 $ n $ 個の最大互いに可換でない要素を持つ群を同型的同型に関して分類すること。
• 任意の $ \omega(G) = n $ に対して、同型的同型類が有限個しか存在しないことを確立すること。これは、同じ $ \omega(G) $ を持つ無限個の群が存在するにもかかわらず成り立つ。
• 同型的同型と有限代表元を用いて、無限群における可解性および中心化子構造に関する結果を拡張すること。
• 従来の $ \mathcal{C}_n $-群（$ n $ 個の中心化子をもつ群）に関する結果を、同型的同型を用いて無限群へ一般化すること。
• $ \omega(G) \leq 20 $ に対して明確な可解性閾値を提供し、$ A_5 $ が最小の非可解例であることを示すこと。

提案手法

• Lemma 2.1 および Lemma 3.2 で確立されたように、同型的同型を群の間の同値関係として用い、$ \omega(G) $ および $ |\mathcal{C}(G)| $ を保存する。
• Pyberの評価を適用：$ [G:Z(G)] \leq c^{\omega(G)} $ であり、これは $ G $ が中心を含む有限群であり、$ G' $ が有限であることを示唆する。
• Schurの定理を活用して $ G' $ および $ G/Z(G) $ の有限性を導出し、同型的同型類が有限個のタイプに制限されることを示す。
• Hallの定理（任意の群は茎群（stem group）に同型的同型である、すなわち $ Z(K) \subseteq K' $ を満たす）を用い、有限代表元が存在することを保証する。
• 同型的同型を用いて無限群の問題を有限群に還元し、有限群論における既知の分類結果の適用を可能にする。
• 群 $ G $ と $ H $ が同型的同型であるとき、$ G/Z(G) $ と $ H/Z(H) $ の間の誘導同型を用いて中心化子の間の全単射を確立し、$ |\mathcal{C}(G)| = |\mathcal{C}(H)| $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $ n $ に対して、$ \omega(G) = n $ を満たす群 $ G $ の同型的同型類はいくつ存在するか？
• RQ2 有限性 $ \omega(G) $ を用いて $ G $ の可解性を示すことは可能か？ その性質の明確な閾値は何か？
• RQ3 無限群において、中心化子の数 $ |\mathcal{C}(G)| $ と $ G/Z(G) $ の構造の関係は何か？
• RQ4 各 $ n $ に対して、$ \mathcal{C}_n $-群の同型的同型類は有限個しか存在しないか？ また、このような群は有限代表元に還元可能か？
• RQ5 $ |\mathcal{C}(G)| = n $ のとき、$ G/Z(G) $ の可能な同型型は何か？ 特に小さな $ n $ に対して。

主な発見

• 任意の正の整数 $ n $ に対して、$ \omega(G) = n $ を満たす群は同型的同型に関して有限個しか存在しない。これは Theorem 1.1(1) で示された。
• 任意の群 $ G $ に対して、$ \omega(G) = n $ ならば、$ \omega(G) = \omega(K) $ を満たす有限群 $ K $ が存在し、$ G $ は $ K $ に同型的同型である。これは Theorem 1.1(2) で確立された。
• 任意の群 $ G $ に対して、$ \omega(G) \leq 20 $ ならば可解であり、この境界は鋭い。なぜなら $ A_5 $ は $ \omega(A_5) = 21 $ を満たすからである。これは Theorem 1.2 で示された。
• 同型的同型の下で中心化子の数 $ |\mathcal{C}(G)| $ は保存されるため、同型的同型な群 $ G $ と $ H $ に対して $ |\mathcal{C}(G)| = |\mathcal{C}(H)| $ が成り立つ。これは Lemma 3.2 に従う。
• $ |\mathcal{C}(G)| \leq 20 $ ならば $ G $ は可解であり、この境界も鋭い。これは [14] の Theorem A を無限群へ一般化した結果である（Theorem 3.4）。
• $ n = 4, 5, 6, 7, 8 $ の場合、$ |\mathcal{C}(G)| = n $ のとき、$ G/Z(G) $ の構造は完全に特徴づけられている。これは有限代表元を用いた Theorem 3.5 で示された。