[論文レビュー] On nonhomogeneous elliptic equations with the Hardy-Leray potentials

Huyuan Chen, Alexander Quaas+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 34被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、ハーディー＝レーラー型ポテンシャルを伴う非同次楕円型方程式の解に対する改善された分布的恒等式を確立し、デルタ関数を用いた孤立特異点の精密な特徴付けを可能にする。特定の非同次問題に対して非負解の非存在を証明し、ハーディー型下界を満たすポテンシャルに対して主固有値の非存在を示す。

ABSTRACT

In this paper, we present some suitable distributional identities of the solutions for nonhomogeneous elliptic equations involving the Hardy-Leray potentials and study qualitative properties of the solutions to the corresponding nonhomogeneous problems by the distributional identities. We address some applications on the nonexistence of some nonhomogeneous problems with the Hardy-Leray potentials and the nonexistence principle eigenvalue with some indefinite potentials.

研究の動機と目的

• 標準的な試験関数空間の制限を克服するために、ハーディー＝レーラー型ポテンシャルを含む非同次楕円型方程式の解に対する改善された分布的恒等式の構築。
• 特にハーディー作用素の基本解を区別するため、デルタ関数表現を用いた孤立特異点の特徴付け。
• ハーディー＝レーラー型ポテンシャルを伴う非同次問題に対して非負解の非存在を確立する。
• 不等号付きポテンシャルがハーディー型下界を満たすシュレーディンガー型方程式に対して主固有値の非存在を調査する。
• 古典的または変分的技法が強い特異性のため失敗する場合に、特異楕円型問題における分布的技法の適用範囲を拡張する。

提案手法

• \Omega \setminus \{0\} における C^∞_c の試験関数を用いた修正された分布的恒等式を導入し、特異解の解析を可能にする。
• ハーディー作用素 \mathcal{L}_\mu = -\Delta + \mu |x|^{-2} の基本解 \Phi_\mu および \Gamma_\mu を分析し、\tau_{\pm}(\mu) の明示的公式を導出する。
• 双対性恒等式を導出するために、形式的随伴作用素 \mathcal{L}^*_\mu = -\Delta - \frac{2\tau_+(\mu)}{|x|^2} x \cdot \nabla を定義する。
• 有界領域における特異ポテンシャルを持つ解の構成のため、下界および上界解の方法を適用する。
• 原点近傍におけるグリーン関数 G_\mu の挙動を用いて、比較推定を導出する。
• H^1_0 空間における G_\mu の可積分性の性質に基づく背理法を用いて、非存在定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーディー＝レーラー型ポテンシャルを伴う楕円型方程式の解の孤立特異点を捉えるために、分布的恒等式をどのように改善できるか？
• RQ2 ハーディー＝レーラー型ポテンシャルを伴う非同次楕円型問題が非負解をもたない条件は何か？
• RQ3 有界領域において、ポテンシャルが a_0 |x|^{-2} で下から抑えられるシュレーディンガー作用素に対して主固有値は存在するか？
• RQ4 基本解 \Phi_\mu および \Gamma_\mu は分布的意味でどのように振る舞い、双対性によって区別可能か？
• RQ5 臨界ハーディー定数 \mu_0 = -(N-2)^2/4 は、解および固有値の非存在にどのように寄与するか？

主な発見

• 随伴作用素 \mathcal{L}^*_\mu を含む新しい分布的恒等式を確立し、デルタ関数を用いた特異点の精密な追跡を可能にする。
• \mu > \mu_0 かつ g が原点近傍で特定の成長条件を満たす場合、問題 \mathcal{L}_\mu u = g は非負解をもたないことを証明する。
• N \geq 3 の場合、g に対して適切な仮定がなされれば、非同次問題 \mathcal{L}_\mu u = g は \mu > \mu_0 のとき非自明な非負解をもたない。
• N = 2 の場合、対数的推定およびグリーン関数との比較を用いて、同様の非存在結果が成り立つ。
• H^1_0(\Omega) 内の問題 -\Delta u = \lambda V u に対して、ある a_0 > 0 が存在し V(x) \geq a_0 |x|^{-2} を満たす場合、\lambda a_0 > -\mu_0 であっても解は存在しない。
• \mu > \mu_0 のとき、\mathcal{L}_\mu に付随するグリーン関数 G_\mu は H^1_0(\Omega) に属さない。これは非存在証明の鍵となる。