[論文レビュー] On one class of fractal sets

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、s進展開における桁の使用を制限することによって定義される新しいフラクタル集合族 𝒮_{(s,u)} を導入する。具体的には、初期項を除く位置で桁 u と 0 を使用を禁止する。この集合族のハウスドルフ＝ベシコビッチ次元を計算する一般定理を確立し、正規数（s進展開における各桁の出現頻度が均等な数）が存在するのは、これらの集合族の中で 𝒮_{(3,0)} のみであり、その次元は log₃(2)/3 から log₃(2/(√5−1)) の間で有界であることを証明する。

ABSTRACT

In the present article a new class $Υ$ of all sets represented in the following form is introduced: $$ \mathbb S_{(s,u)}\equiv\left\{x: x= Δ^{s}_{{\underbrace{u...u}_{α_1-1}} α_1{\underbrace{u...u}_{α_2 -1}}α_2 ...{\underbrace{u...u}_{ α_n -1}}α_n...}, α_n \in A_0, α_n e u, α_n e 0 ight\}, $$ where $2

研究の動機と目的

• s進展開における桁の制限に基づく新しいフラクタル集合族 𝒮_{(s,u)} を定義・分析すること。ここで、非初期位置では桁 u と 0 が使用されない。
• これらの集合の位相的・測度的・フラクタル的性質、特に構造と次元に焦点を当てる。
• 正規数（s進展開における各桁の出現頻度が均等な数）がこれらの集合に属する条件を特定すること。
• s進表現における禁止された桁パターンを持つ集合のハウスドルフ＝ベシコビッチ次元を計算する一般的手法を確立すること。

提案手法

• 集合 𝒮_{(s,u)} は、各要素が非ゼロの桁の列（A₀ = {1, ..., s−1} からのもの）と、(s−1) 回繰り返された u からなるブロックに分けられ、u ≠ 0 かつ u ≠ αₙ を満たす s進展開によって定義される。
• 𝑆_{(s,0)} の要素と (A₀)∞ 内の列との間の全単射を用いて構成され、既知の非可算なカントール型集合への写像により非可算性が証明される。
• シリンダーは、初期の非ゼロの桁が固定された 𝒮_{(s,0)} の部分集合として定義され、幾何級数を用いてその下界と上界が計算され、測度的構造が分析される。
• 集合を桁の位置と禁止パターンに依存するスケーリング要因を持つ自己相似構造としてモデル化することで、一般次元公式が導出される。
• 次元は、α₀ が ∑(1/s)^{N(σᵢ)α₀} = 1 を満たすものとして計算され、各ブロックの桁数 N(σᵢ) が関与する。自己相似性は再帰的分解により検証される。
• 正規数の問題は、s進展開における桁 i の漸近的頻度を評価することで分析され、s=3 かつ u=0 の場合に限り、すべての桁が頻度 1/s を達成できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 s と u がどのような値をとるとき、集合 𝒮_{(s,u)} に正規数（s進展開における各桁の出現頻度が 1/s に等しい数）が含まれるか？
• RQ2 与えられた桁の制限のもとで、集合 𝒮_{(s,u)} のハウスドルフ＝ベシコビッチ次元は何か？
• RQ3 集合 𝒮_{(s,u)} の構造は、自己相似集合やカントール型構成とどのように関係するか？
• RQ4 s進展開における禁止された桁パターンを持つ任意の集合のハウスドルフ次元について、一般の公式を導出できるか？
• RQ5 特にシリンダー集合とその境界に関して、集合 𝒮_{(s,0)} の位相的・測度的構造は何か？

主な発見

• ⋃_{u=0}^{s−1} 𝒮_{(s,u)} 内の正規数の集合は、s=3 の場合にのみ空でなく、このとき 𝒮_{(3,0)} の連続的部分集合である。
• s=3 の場合、正規数部分集合のハウスドルフ＝ベシコビッチ次元 α₀ は 1/3 log₃2 ≤ α₀ ≤ log₃(2/(√5−1)) を満たす。
• s≠3 の場合、⋃_{u=0}^{s−1} 𝒮_{(s,u)} 内の正規数の集合は空である。これは構造的制約により、桁 0 の頻度が 1/s に達しないからである。
• 𝑆_{(3,0)} のハウスドルフ＝ベシコビッチ次元は、正確に log₃(2/(√5−1)) に等しく、自己相似方程式 2(1/3)^{3α₀} = 1 から導出される。
• 𝑆_{(3,0)} 内の最小の正規数部分集合 S′₃ の次元は 1/3 log₃2 に等しく、方程式 2(1/3)^{3α₀} = 1 から計算される。
• 一般定理が証明された：s進展開における禁止された桁パターンを持つ任意の集合のハウスドルフ＝ベシコビッチ次元は、∑(1/s)^{N(σᵢ)α₀} = 1 を満たす α₀ を解くことで決定される。ここで N(σᵢ) は各許可されたブロックの長さを表す。