[論文レビュー] On one nearly everywhere continuous and nowhere differentiable function, that defined by automaton with finite memory

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限記憶のオートマトンによって定義される新しい関数を提示する。この関数は、[0,1] の実数の三進小数展開の各桁に対して、特定の桁置換規則 0→0, 1→2, 2→1 を用いて変換する。関数はほとんど everywhere で連続であるが、至る所で微分可能でない。そのグラフのハウスドルフ＝ベシコビッチ次元は 1 であり、ルベーグ積分は 1/2 である。関数は自己相似的な関数方程式によって表現可能であり、三進桁の置換を用いて6つの関連関数へ一般化される。

ABSTRACT

This paper is devoted to the investigation of the following function $$ f: x=Δ^{3}_{α_{1}α_{2}...α_{n}...}{ ightarrow} Δ^{3}_{φ(α_{1})φ(α_{2})...φ(α_{n})...}=f(x)=y, $$ where $φ(i)=\frac{-3i^{2}+7i}{2}$, $ i \in N^{0}_{2}=\{0,1,2\}$, and $Δ^{3}_{α_{1}α_{2}...α_{n}...}$ is the ternary representation of $x \in [0;1]$. That is values of this function are obtained from the ternary representation of the argument by the following change of digits: 0 by 0, 1 by 2, and 2 by 1. This function preserves the ternary digit $0$. Main mapping properties and differential, integral, fractal properties of the function are studied. Equivalent representations by additionally defined auxiliary functions of this function are proved. This paper is the paper translated from Ukrainian (the Ukrainian variant available at https://www.researchgate.net/publication/292970012). In 2012, the Ukrainian variant of this paper was represented by the author in the International Scientific Conference "Asymptotic Methods in the Theory of Differential Equations" dedicated to 80th anniversary of M. I. Shkil (the conference paper available at https://www.researchgate.net/publication/301765319). In 2013, the investigations of the present article were generalized by the author in the paper "One one class of functions with complicated local structure" (https://arxiv.org/pdf/1601.06126.pdf) and in the several conference papers (available at: https://www.researchgate.net/publication/301765326, https://www.researchgate.net/publication/303052308).

研究の動機と目的

• 三進桁変換を用いた有限オートマトンによって定義される新しい関数の調査。
• その微分的・積分的・フラクタル的・関数的性質の分析。
• 補助関数と関数方程式を用いた同等の表現の確立。
• 三進桁の置換を用いて、6つの関連関数のクラスへの構成の一般化。
• 関数のグラフのハウスドルフ＝ベシコビッチ次元とルベーグ積分の決定。

提案手法

• 三進桁 i ∈ {0,1,2} に対して、φ(i) = (−3i² + 7i)/2 で定義される桁ごとの変換により関数 f を定義する。
• 補助関数 f₀₁, f₁₂, f₀₂ を用いた、3つの同等の関数方程式を提示する。各々の桁写像は φ₀₁(i) = (i² − i)/2 などとなる。
• 単位区間を三進部分区間に再帰的に分割し、自己相似性と再帰的分解を用いて関数方程式を導出する。
• フラクタル次元理論を適用し、グラフを dyadic 正方形で被覆し、3^m (2·3^{-2m})^{α/2} の極限を計算して次元を決定する。
• 自己相似的スケーリングを用いてルベーグ積分を計算する：I = 1/3 + (1/3)I により、I = 1/2 を得る。
• 三進桁のすべての6通りの置換を用いて構成を一般化し、m = 1 から 6 までの fₘ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三進展開における桁置換によって定義される関数 f の微分的および連続性の性質は何か？
• RQ2 関数 f は、より単純な補助関数 f_ij を用いた関数方程式によってどのように表現できるか？
• RQ3 関数 f のグラフのハウスドルフ＝ベシコビッチ次元は何か？
• RQ4 関数 f の [0,1] 上でのルベーグ積分は何か？
• RQ5 関数 f の性質は、他の三進桁の置換に基づく関数 fₘ にどのように一般化されるか？

主な発見

• 関数 f は [0,1] 上でほとんど everywhere で連続であり、測度零の集合を除いて連続である。
• 関数 f は、ほとんど everywhere で連続であるにもかかわらず、至る所で微分可能でない。
• 関数 f のグラフのハウスドルフ＝ベシコビッチ次元は 1 に等しい。
• [0,1] 上での関数 f のルベーグ積分は正確に 1/2 である。
• 関数 f は、有理数係数を用いた f₀₁, f₁₂, f₀₂ を用いた3通りの同等の関数的表現を有する。
• 三進桁の置換によって得られる6つの関数 fₘ（m = 1 から 6）は、すべて同一の主要な性質を共有する：a.e. 連続性、至る所での微分不能性、グラフ次元 1、積分値 1/2。