[論文レビュー] On one class of functions with complicated local structure that the solutions of infinite systems of functional equations (On one application of infinite systems of functional equations in the functions theory)

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2016

Functional Equations Stability Results参考文献 17被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、特異的で、どこでも単調でなく、どこでも微分不可能な関数などの複雑な局所構造を持つ関数をモデル化するため、負の˜Q表現に基づく新しい無限関数方程式系を考察する。[0,1] 上で連続的かつ有界な解の存在と一意性を証明し、その解析的形を導出し、その解が独立な˜Q記号を持つ確率変数の分布関数として機能するための条件を確立する。解は、任意の負の˜Q有理点において、有限でも無限でもない微分可能性を示しており、その病理的特性が確認された。

ABSTRACT

The article is devoted to investigation of applications of infinite systems of functional equations for modeling of functions with complicated local structure, that are defined in terms of the nega-$ ilde Q$-representation. The infinite system of functional equations $$ f\left(\hat \varphi^k(x) ight)= ilde \beta_{i_{k+1},k+1}+ ilde p_{i_{k+1},k+1}f\left(\hat \varphi^{k+1}(x) ight), $$ where $k=0,1,...$, $\hat \varphi$ is a shift operator of the $ ilde Q$-expansion, $x=\Delta^{- ilde Q} _{i_1(x)i_2(x)...i_n(x)...}$, are investigated. It is proved, that the system has the unique solution in the class of determined and bounded on $[0;1]$ functions and continuity of the solution. His analytical presentation is founded. Conditions of its monotonicity and nonmonotonicity, differential, integral properties are studied. Conditions under which the solution of the functional equations system is a distribution function of random variable $\eta=\Delta^{ ilde Q} _{\xi_1\xi_2...\xi_n...}$ with independent $ ilde Q$-symbols are discovered. The results of the article was represented in Fourth all-Ukrainian Scientific Conference of Young Scientists on Mathematics and Physics, Kyiv, April 23-25, 2015 (https://www.researchgate.net/publication/301765100). The investigation was represented at the seminar on fractal analysis of Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine on, October 30, 2014 (http://www.imath.kiev.ua/events/index.php?seminarId=21&archiv=1).

研究の動機と目的

• 複雑な局所構造を持つ関数をモデル化するため、無限関数方程式系の応用を調査すること。
• 負の˜Q表現に基づく新しい関数方程式クラスに対して、[0,1] 上で連続的かつ有界な解の存在と一意性を確立すること。
• 解の解析的性質、単調性、微分可能性、積分的性質を分析すること。
• 解が独立な˜Q記号を持つ確率変数の分布関数として機能するための条件を特定すること。
• 解が任意の負の˜Q有理点においてどこでも微分不可能であることを証明すること。

提案手法

• 本稿は、負の˜Q展開に関連するシフト作用素ˆϕkを用いて、無限関数方程式系を定義する：f(ˆϕk(x)) = ˜βik+1,k+1 + ˜pik+1,k+1f(ˆϕk+1(x))（k = 0,1,...）。
• 解は、x ∈ [0,1] の˜Q表現に基づき、F(x) = βi1(x),1 + Σ_{k=2}^∞ [˜βik(x),k * Π_{j=1}^{k-1} ˜pij(x),j] として解析的に構成される。
• ˜Q表現は、s-adic展開やカントール級数展開を一般化し、各列の和が1に等しく、無限積が0に収束する条件を満たす行列||qi,n||を用いる。
• 再帰的関数関係と無限積構造における収束議論を用いて、解が[0,1] 上で連続的かつ有界であることを示す。
• 解のグラフは、˜qin,n, ˜ain,n, ˜βin,n, および˜pin,n によって定義されるアフィン変換ψin,n の系列における不変集合として特徴づけられる。
• 微分可能性の分析には、負の˜Q有理点に近づく両側列を用い、左および右の差分商を比較することで、極限が発散することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負の˜Q表現に基づく無限関数方程式系は、[0,1] 上で一意的かつ有界で連続な解をもつか？
• RQ2 関数方程式系の解が、独立な˜Q記号を持つ確率変数の分布関数となるための条件は何か？
• RQ3 解は負の˜Q有理点においてどこでも微分不可能であるか。もしそうならば、その理由は何か？
• RQ4 解の解析的性質、単調性、積分的性質は何か？
• RQ5 解のグラフは、アフィン変換の系列における不変集合としてどのように表現できるか？

主な発見

• 無限関数方程式系は、[0,1] 上で有界かつ連続な関数のクラスにおいて一意な解をもつ。
• 解F(x)は、xの負の˜Q表現に基づき、F(x) = βi1(x),1 + Σ_{k=2}^∞ [˜βik(x),k * Π_{j=1}^{k-1} ˜pij(x),j] として解析的に表現される。
• 解は、任意の[0,1] 内の負の˜Q有理点においてどこでも微分不可能であり、左および右の差分商が発散する極限を持つ。
• パラメータ˜pij,j および ˜qij,j が与えられた条件を満たす場合、解は確率変数η = ∆˜Q ξ1ξ2...ξn... が独立な˜Q記号を持つ場合の分布関数である。
• Fのグラフは、アフィン変換ψin,n の合成における不変集合であり、ΓF = ∪_{x∈[0,1]} (... ◦ ψin(x),n ◦ ... ◦ ψi1(x),1(ΓF)) を満たす。
• 解は病理的微分可能性を示す：任意の負の˜Q有理点において、有限でも無限でもない微分可能性を示す。これは、差分商における比の列が収束しないことによる。