[論文レビュー] On one number-theoretic conception: towards a new theory

Rom Varshamov, Armen Bagdasaryan|ArXiv.org|Jul 6, 2009

History and Theory of Mathematics参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、負の数が無限大よりも大きいとみなされるように整数を再編積する数論的枠組みを導入し、新たな公理系と発散級数に対する正則な和算法を提示する。この手法により、発散級数の統一的和算、非有界および振動関数の極限計算、ベルヌーイ数の新たな再帰的および有限公式の導出が可能となり、解析接続を用いない初等的技法によって実現される。

ABSTRACT

In this paper we present a new mathematical conception based on a new method for ordering the integers. The method relies on the assumption that negative numbers are beyond infinity, which goes back to Wallis and Euler. We also present a new axiom system, the model of which is arithmetics. We define regular method for summation of infinite series which allows us to discover general and unified approach to summation of divergent series, and determine the limits of unbounded and oscillating functions. Several properties for divergent series and explicit formulas for sums of some infinite series are established. A number of finite and new recurrence formulas for Bernoulli numbers are obtained. We rederive some known results, but in a simpler and elementary way, and establish new results by means of techniques of the theoretical background developed.

研究の動機と目的

• ウォリスとオイラーにインspiredして、負の数が無限大よりも大きいとみなされるような整数の順序付けの新しい方法を開発すること。
• 整数上の正則関数のための新たな公理系を確立し、新しい数学的理論の基盤を築くこと。
• 古典的和算を一般化し、非有界および振動関数にも適用可能な、発散級数に対する正則な和算法を導入すること。
• 新しい理論的枠組みを用いてベルヌーイ数の新たな有限および再帰的公式を導出すること。
• 既知の結果をより単純な方法で再導出できること、および古典的理論では得られない新たな結果を得られることを、理論の有効性を示すために提示すること。

提案手法

• 整数の新しい順序付けを提案：ℤ = [0, 1, 2, ..., -2, -1] とし、負の整数を無限大の先に配置する。
• ℤ 上で定義された正則関数 f(·) のクラスを導入し、上側添え字が下側添え字より小さい場合の和算を拡張する。
• 一貫性と正則性を保証する公理を用いて、発散級数に対しても有効な新しい級数和算法を定義する。
• 新しい公理系を用いて、発散級数の性質を導出し、算術級数および幾何級数を含む。
• 母関数と再帰関係を用いて、ベルヌーイ数の有限および明示的公式を導出する。
• 正則関数のクラスを非初等的母関数を含むように拡張し、適用範囲を広げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負の数が無限大よりも大きいとみなされるような一貫性のある整数の順序付けをどのように定義できるか、そして算術に与える影響は何か。
• RQ2 整数上の正則関数のための新たな公理系を構築できるか。その公理系は、発散級数に対する統一的和算法を支えることができるか。
• RQ3 この新しい枠組み下での非有界および振動関数の極限は、古典的解析とどのように異なるか。
• RQ4 この新しい理論的基盤を用いて、ベルヌーイ数の新たな再帰的および有限公式を導出できるか。
• RQ5 解析学および数論における既知の結果は、この新しい手法を用いて、より単純に再導出できるか。その範囲はどの程度か。

主な発見

• 負の数を無限大の先に配置する新しい整数順序 ℤ = [0, 1, 2, ..., -2, -1] が提案され、ウォリスとオイラーの歴史的視点と整合的である。
• 整数 ℤ 上の正則関数のための新たな公理系が確立され、上添え字が下添え字より小さい場合の級数の整合的和算が可能になる。
• 発散級数に対する正則な和算法が開発され、発散的・非有界的・振動的級数を統一的に取り扱える。
• ベルヌーイ数の明示的再帰的および有限公式が導出され、これまでに知られていなかった新たな恒等式が含まれる。
• 非有界および振動関数の極限が新しい枠組みを用いて定義され計算され、古典的解析が失敗する場面でも有限値が得られる。
• リーマンゼータ関数の負の整数における値など、既知の結果が解析接続を用いずに初等的に再導出された。