[論文レビュー] On one problem of Gowers

Ilya D. Shkredov|ArXiv.org|May 21, 2004

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、W.T. Gowersが提起した問題を解決し、2次元グリッド $[1,N]^2$ の部分集合に角（三つ組 $"](k,m), (k+d,m), (k,m+d)")$ が存在することを保証する密度閾値を特定する。密度増加のアプローチを、フーリエ一様性と部分格子の反復的精錬を組み合わせることで、任意の密度 $δ$ の部分集合が $N \geq \exp\exp\exp(\delta^{-c})$ を満たすとき角を含むことを示した。ここで $c > 0$ は絶対定数であり、$L(N)$ を角を含まない部分集合の最大密度とするとき、定量的評価 $L(N) \ll 1/( \log\log\log N)^{C_1}$ を得た。

ABSTRACT

Let A \subseteq [1,..,N]^2 be a set of density at least 1/(log log log N)^c, where c some constant c>0. We prove that A contains a so-called right-angle triangle, i.e. a triple of the form {(k,m), (k+d,m), (k,m+d)}, where d>0.

研究の動機と目的

• W.T. Gowersが提起した、角を含まない部分集合の最大密度 $L(N)$ が $N \to \infty$ のときゼロに収束する速度に関する定量的問題を解明すること。
• 角を含まない $[1,N]^2$ の部分集合の最大密度 $L(N)$ に対する定量的上界を確立すること。
• Gowersの算術的等差数列に対する手法を、2次元の角問題に応用するため、反復的密度増加と一様性技術を拡張すること。
• 十分に大きな $N$ に対して、密度 $\delta$ の部分集合が角を含むことを構成的証明すること。

提案手法

• 密度増加の反復的戦略を適用し、部分格子 $P^{(i)}_1 \times P^{(i)}_2$ を精錬することで、集合 $A$ のこれらの部分格子における密度を向上させる。
• 誤差項の制御にフーリエ一様性を用いる：集合が $\alpha$-一様であるとは、そのバランス関数 $f$ が $\sum_k |\sum_s f(s)\overline{f(s-k)}|^2 \leq \alpha N^3$ を満たすことを意味する。これは擬似ランダム性を保証する。
• 離散フーリエ変換とプランシュレルの定理を用い、畳み込みの $L^2$ ノルムとフーリエ係数を関連づけ、誤差推定を可能にする。
• 各ステップで、密度が向上し、一様性が向上した部分格子 $R^{(i+1)}_1 \times R^{(i+1)}_2$ を選択する再帰的精錬プロセスを実装する。
• 各ステップにおける密度増加は少なくとも $10^{-10000}\delta^{3500}$ に達し、絶対定数 $\overline{c} > 0$ を用いて $O(\delta^{-\overline{c}})$ ステップで密度1に収束することが保証される。
• 不等式 $|P^{(i)}| \geq |P^{(i-1)}|^{\kappa_0^{(1/\delta)^{\delta^{-C_6}}}}$ を用い、最終的な部分格子 $\mathbf{P}$ が十分に大きく、角の定理を適用可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 角を含まない部分集合の最大サイズに対する最良の定量的評価は何か？
• RQ2 $N \to \infty$ のとき、角を含まない部分集合の最大密度 $L(N)$ はどの程度速くゼロに収束するか？
• RQ3 Gowersのアプローチである反復的密度増加と一様性技術を、2次元の角問題に適応可能か？
• RQ4 任意の $[1,N]^2$ の部分集合が密度 $\delta$ を持つ場合、角を含む最小の $N$ は何か？

主な発見

• 本論文は、任意の部分集合 $A \subseteq \{1,\dots,N\}^2$ が密度 $\delta$ 以上であれば、$N \geq \exp\exp\exp(\delta^{-c})$（$c > 0$ は絶対定数）のとき角を含むことを示し、角定理の定量的版を証明した。
• 角を含まない部分集合の最大密度 $L(N)$ は、絶対定数 $C_1 > 0$ を用いて $L(N) \ll 1/(\log\log\log N)^{C_1}$ を満たし、以前の評価を改善した。
• 証明により、密度増加プロセスを $O(\delta^{-\overline{c}})$ 回反復した後、集合 $A$ は部分格子 $\mathbf{P}$ において十分に一様になり、角の存在が保証される。
• 最終的な部分格子 $\mathbf{P}$ は、$0 < \kappa < 1$, $b > 1$ を用いて $|\mathbf{P}| \geq N^{\kappa^{(1/\delta)^{\delta^{-b}}}}$ を満たし、角の基準を適用するに十分な大きさであることが保証された。
• この手法により、有限回のステップを経て、最終的な部分格子における $A$ の密度は $2\delta$ を超え、誤差 $\leq 10^{-108}\delta^{44}$ の範囲で一様性条件が満たされる。
• 結果として、角問題は、算術的等差数列に対するGowersの評価と同様に定量的に解けることが確認され、$\delta^{-1}$ の三重指数的依存性を示した。