[論文レビュー] On P vs. NP, Geometric Complexity Theory, and the Riemann Hypothesis

Ketan Mulmuley|ArXiv.org|Aug 13, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特性0におけるP対NPおよび#P対NC問題を扱うために、表現論と代数幾何学を用いて、量子群の正規基底における正値性の問題に、パーマネント対行列式問題を還元する幾何的複雑性理論（GCT）フレームワークを提示する。主な貢献は、有限体上のリーマン予想と、非標準的量子群の構成を通じた基本的複雑性下界の解消との間の推測的ブリッジを確立することにある。

ABSTRACT

Geometric complexity theory (GCT) is an approach to the $P$ vs. $NP$ and related problems. A high level overview of this research plan and the results obtained so far was presented in a series of three lectures in the Institute of Advanced study, Princeton, Feb 9-11, 2009. This article contains the material covered in those lectures after some revision, and gives a mathematical overview of GCT. No background in algebraic geometry, representation theory or quantum groups is assumed.

研究の動機と目的

• 特性0におけるP対NPおよび#P対NC問題を解消するための幾何学的かつ表現論的フレームワークを確立すること。
• 正規基底における正値性を用いた明示的かつ検証可能な下界の証明を構築することで、複雑性の障壁を乗り越えること。
• 量子化された表現を用いて、リトルウッド＝リチャードソン則をプレティズムおよび部分群制限問題へ一般化すること。
• 古典的結果を非標準的量子群へと上げることで、複雑性理論における「フラップ」戦略の数学的基盤を提供すること。
• 特に、有限体上の非標準的リーマン予想という深遠な数論的予想を、複雑性理論における計算下界と結びつけること。

提案手法

• 特定の群作用に関して不変な多項式としてパーマネントと行列式を特徴づけ、対称性を用いてそれらの複雑性クラスを定義すること。
• パーマネント対行列式問題を、GL_nのウェイル加群がGL_mの表現の対称冪に埋め込まれるかどうかという問題に定式化すること。
• 幾何的不変式理論を用いて、パーマネントの軌道閉包をクラス多様体として定義し、これにより硬度仮説（PH1）を定義すること。
• 標準的および非標準的量子群を用いて部分群埋め込みの量子化を導入し、古典的表現を量子的設定へと持ち上げること。
• 非標準的量子群の完全可約表現の正規基底を構成し、部分群作用に関して正値であると予想すること。
• これらの基底の正値性を活用して、硬度仮説（PH1）を証明し、これが特性0における#P対NC予想を含意することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パーマネント対行列式問題は、量子群の正規基底における正値性の問題に還元可能か？
• RQ2 非標準的量子群の構成を通じて、テンソル積の重複度に関するリトルウッド＝リチャードソン則は、プレティズムに一般化可能か？
• RQ3 有限体上のリーマン予想は、非標準的量子群へ拡張可能であり、正規基底の正値性を証明できるか？
• RQ4 幾何学的および表現論的技法を用いて、特性0における#P対NC予想の構成的かつ明示的証明は可能か？
• RQ5 複雑性理論における「フラップ」戦略は、部分群埋め込みおよび非標準的量子群における正規基底の量子化を通じて実現可能か？

主な発見

• ビット演算を用いない非一様なP ≠ NC結果が、組合せ論的ではなく幾何学的に得られた、条件なしの下界として確立された。
• 特性0におけるパーマネント対行列式問題は、プレティズム写像に関連する非標準的量子群に正規基底が存在することの証明に還元された。
• リトルウッド＝リチャードソンの正値性結果（LR PH0）は、量子化を通じてプレティズム設定へ拡張され、プレティズムPH0仮説が得られた。
• GCT7およびGCT8は、非標準的量子群の正規基底を構成するための推測的に正しいアルゴリズムを提供し、その正値性の予想が硬度仮説を含意するとされる。
• GCTの最終的目標は、非標準的有限体上のリーマン予想を経由して、幾何学的および表現論的還元の鎖を通じてP ≠ NPを導出することにある。