[論文レビュー] On penalisation results related with a remarkable class of submartingales

Joseph Najnudel, Ashkan Nikeghbali|ArXiv.org|Nov 23, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般の技術的条件下で拡散過程から導かれる部分 martingale の族に対して罰則化結果を確立し、時間変換された確率測度が弱収束することを示している。主な貢献は、ラプラス変換の漸近解析とタウバー型定理を用いて、$\mathbb{Q}_{\infty}$ と呼ばれる極限測度が、族 $(\mathbb{Q}_t)$ とは独立に定義される $\sigma$-有限測度 $\mathcal{Q}$ に関して絶対連続であることを証明することにある。

ABSTRACT

Is this paper we study penalisations of diffusions satisfying some technical conditions, generalizing a result obtained by Najnudel, Roynette and Yor. If one of these diffusions has probability distribution $\mathbb{P}$, then our result can be described as follows: for a large class of families of probability measures $(\mathbb{Q}_t)_{t \geq 0}$, each of them being absolutely continuous with respect to $\mathbb{P}$, there exists a probability $\mathbb{Q}_{\infty}$ such that for all events $Λ$ depending only on the canonical trajectory up to a fixed time, $\mathbb{Q}_t (Λ)$ tends to $\mathbb{Q}_{\infty} (Λ)$ when $t$ goes to infinity. In the cases we study here, the limit measure $\mathbb{Q}_{\infty}$ is absolutely continous with respect to a sigma-finite measure $\mathcal{Q}$, which does not depend on the choice of the family of probabilities $(\mathbb{Q}_t)_{t \geq 0}$, but only on $\mathbb{P}$. The relation between $\mathbb{P}$ and $\mathcal{Q}$ is obtained in a very general framework by the authors of this paper.

研究の動機と目的

• 既知の例を超えて、技術的条件を満たす拡散過程に対する罰則化結果を一般化すること。
• 基底測度 $\mathbb{P}$ に関して絶対連続な測度族 $\mathbb{Q}_t$ の弱極限 $\mathbb{Q}_{\infty}$ の存在を確立すること。
• $\mathbb{Q}_{\infty}$ が、$\mathbb{Q}_t$ の族とは無関係に定まる $\sigma$-有限測度 $\mathcal{Q}$ に関して絶対連続であることを示すこと。
• フィルトレーションが完全でない場合や $\Gamma_t$ がほとんど everywhere に定義される場合の測度拡張問題を、$\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$ の漸近解析を用いて条件付き期待値の収束を証明することで解決すること。

提案手法

• ラプラス変換 $\lambda^{1-\alpha} \int_0^\infty e^{-\lambda t} \mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}] \, dt$ の形を用いて、$\lambda \to 0^+$ のときの漸近的挙動を分析する。
• タウバー型定理を適用し、ラプラス変換の挙動から $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$ の長時間漸近挙動を導出する。
• プロセスがレベル $a$ 未満にいる時間 $g_t^{[a]}$ を用いた $\Gamma_t$ の分解を導入し、$g_t^{[a]} \leq (1-\gamma)t$ および $g_t^{[a]} > (1-\gamma)t$ の領域に積分を分割する。
• マルコフ性と $\rho(2\gamma)$ を用いた推定により、尾部寄与 $J(\lambda,\gamma)$ を抑え、$\gamma \to 0$ のときの収束を保証する。
• 一様有界性 $M$ の存在と、Lemma 3.4 の使用により、プロセスが原点付近に長く留まるという稀な事象の確率を制御する。
• $\Gamma_t$ が $t$ に関して単調減少であり、任意の $t$ に対して $\mathbb{P}[\Gamma_t] > 0$ であることを用いて、$\mathbb{Q}_t$ の定義が正しく行われ、$\mathcal{Q}[\Gamma_\infty] > 0$ との矛盾を避ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底測度 $\mathbb{P}$ に関して絶対連続な測度族 $\mathbb{Q}_t$ が、弱収束するための条件は何か？
• RQ2 $\mathbb{Q}_\infty$ は、$\mathbb{Q}_t$ の族とは独立に定まる $\sigma$-有限測度 $\mathcal{Q}$ に関して絶対連続に表現可能か？
• RQ3 正規フィルトレーションでなく、$\Gamma_t$ がほとんど everywhere に定義される場合、$\mathbb{Q}_\infty$ の存在はどのように確立できるか？
• RQ4 $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$ の漸近的挙動が、$\mathbb{Q}_t[\Lambda_s]$ の収束を証明する際に果たす役割は何か？
• RQ5 ラプラス変換の漸近挙動から、タウバー型定理を用いて $\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$ の長時間スケーリングを導出可能か？

主な発見

• $\mathbb{Q}_\infty$ が存在し、$t \to \infty$ のとき $\mathbb{Q}_t[\Lambda_s] \to \mathbb{Q}_\infty[\Lambda_s]$ がすべての $s \geq 0$ および $\Lambda_s \in \mathcal{F}_s$ に対して成り立つ。
• $\mathbb{Q}_\infty$ は、$\mathbb{Q}_t$ の族とは無関係に定まる $\sigma$-有限測度 $\mathcal{Q}$ に関して絶対連続である。
• $t \to \infty$ のとき、$\mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}] \sim D t^{-\alpha} \mathcal{Q}[\Gamma_\infty \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$ が成り立つ。ただし $D > 0$。
• ラプラス変換 $\lambda^{1-\alpha} \int_0^\infty e^{-\lambda t} \mathbb{P}[\Gamma_t \mathbf{1}_{\Lambda_s}] \, dt$ は $\lambda \to 0^+$ のとき $K \mathcal{Q}[\Gamma_\infty \mathbf{1}_{\Lambda_s}]$ に収束する。ただし $K > 0$。
• 尾部寄与 $J(\lambda,\gamma)$ は $\gamma \to 0$ のとき消えるため、積分の主要寄与は $g_t^{[a]} \leq (1-\gamma)t$ の領域から来るようになり、タウバー型定理の適用が可能になる。
• $\mathbb{Q}_\infty$ の存在は、$\mathbb{Q}_t[\Lambda_s] \to \mathcal{Q}[\Gamma_\infty \mathbf{1}_{\Lambda_s}] / \mathcal{Q}[\Gamma_\infty]$ を示すことで保証され、これにより $\mathbb{Q}_\infty[\Lambda_s]$ が定義される。