[論文レビュー] On perfect powers that are sums of cubes of a three term arithmetic progression

Alejandro Argáez-García, Vandita Patel|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、$n \geq 5$ が素数で $0 < r \leq 10^6$ のとき、方程式 $(x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 = y^n$ が $xy = 0$ を満たす自明な整数解しか持たないことを、Frey-Hellegouarch曲線、モジュラー性、ガロア表現、および対数の線形形式からの境界を用いて証明している。この結果は、等差数列における立方和に関する先行研究を拡張し、$k=3$ および大きな $n$ に対して非自明な完全乗数解が存在しないことを確認する。

ABSTRACT

Using only elementary arguments, Cassels and Uchiyama (independently) determined all squares that are sums of three consecutive cubes. Zhongfeng Zhang extended this result and determined all perfect powers that are sums of three consecutive cubes. Recently, the equation $(x-r)^k + x^k + (x+r)^k$ has been studied for $k=4$ by Zhongfeng Zhang and for $k=2$ by Koutsianas. In this paper, we complement the work of Cassels, Koutsianas and Zhang by considering the case when $k=3$ and showing that the equation $(x-r)^3+x^3+(x+r)^3=y^n$ with $n\geq 5$ a prime and $0 &lt; r \leq 10^6$ only has trivial solutions $(x,y,n)$ which satisfy $xy=0$.

研究の動機と目的

• 指数 $n \geq 5$ の場合における、3項等差数列における立方和の完全乗数としての非自明な解の理解の空白を埋める。
• Cassels, Uchiyama, Zhang が $r=1$ の場合に $n=2$ および $n \geq 2$ をそれぞれ解決したのを、一般の $r$ に拡張する。
• $k=3$ の場合に、方程式 $(x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 = y^n$ が $n \geq 5$ が素数で $r \leq 10^6$ のとき非自明な整数解を持たないことを確立する。
• 互いに素な条件 $\gcd(x,r) = 1$ の下で、高度な数論的技法を用いて非自明な解を排除する。
• $10^6$ を超える範囲の $r$ に対しても適用可能な計算的・理論的枠組みを提供する。

提案手法

• 方程式に $y = 3w$ を代入することで、元のディオファントス方程式を $x(x^2 + 2r^2) = 3^{p-1}w^p$ の3次形式に変形する。
• $x$ の偶奇および3の倍数性に基づく4つのケースに分けて解析し、降下法を適用して $(p,p,p)$ または $(p,p,2)$ の形式の式を導出する。
• 得られた3次方程式に関連するFrey-Hellegouarch楕円曲線を用いて、モジュラー性およびレベル低下の議論を適用する。
• 線形形式の対数からの境界（Mignotteの結果）を適用して、可能な解を制限する。
• Magma を用いて局所的可解性のチェック、降下、およびThue方程式の解法を実行して残存候補を絞る。
• Lemma 7.1, 7.2, 7.3 を用いて、ガロア表現および局所的障害の技法により解を排除する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 5$ が素数で $0 < r \leq 10^6$ のとき、$(x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 = y^n$ に非自明な整数解は存在するか？
• RQ2 モジュラー法およびガロア表現の技法を用いて、$k=3$ の場合に非自明な解を排除できるか？
• RQ3 $\gcd(x,r) = 1$ の仮定は、スケーリングによる人工的解を防ぐのに十分であり、解空間にどのような制約を与えるか？
• RQ4 Thue方程式の解法と計算数論の組み合わせにより、初期フィルタリング後の残存候補をすべて排除できるか？
• RQ5 同じ理論的枠組みを用いて、$r \leq 10^6$ を超える範囲への解の拡張を一様に可能にする手法は存在するか？

主な発見

• $p \geq 5$ が素数で $0 < r \leq 10^6$ のとき、方程式 $(x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 = y^p$ は $\gcd(x,r) = 1$ を満たす非自明な整数解を持たない。
• 初期計算的フィルタリングを通った結果、ケース3および4で合計14個の式が残り、そのうち13個は $r = 2^k$（$k \geq 5$）の場合にLemma 10.1で排除された。
• 残存した14個の式のうち、777個はケース4（$2 \nmid x$, $3 \nmid x$）に、13個はケース3（$2 \nmid x$, $3 \mid x$）に属し、いずれも $p \geq 5$ を満たす。
• MagmaのソルバーによるThue方程式の解法により、残存する778個の式のうち非自明な解は見つからず、証明が完了した。
• 最終的な結果として、すべての整数解が $xy = 0$ を満たすことが確認され、自明な解のみが存在することが示された。
• 計算時間はケース3で約66時間、ケース4で約70時間であり、$r \leq 10^6$ に対して完全なフィルタリングが施された。