[論文レビュー] Perfect powers that are sums of consecutive squares

Vandita Patel|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

graph theory and CDMA systems被引用数 8

ひとこと要約

この論文は代数的整数論とディオファントス解析を用いて、10個以下の連続する平方数の和として表せる完全乗数をすべて特定する。$ d \leq 10 $ の場合、$ n \geq 2 $ に対して $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $ の解は、$ n \geq 3 $ のときは有限個であり、$ n = 2 $、$ d = 2 $ のときは無限族である。$ d = 6 $、$ n \geq 3 $ のときは解が存在しない。主な貢献は、指定された範囲内でのこのような完全乗数の完全分類である。

ABSTRACT

We determine all perfect powers that can be written as the sum of at most 10 consecutive squares.

研究の動機と目的

• 10個以下の連続する平方数の和として表せるすべての完全乗数を分類すること。
• 整数上での $ 2 \leq d \leq 10 $、$ n \geq 2 $ に対して、ディオファントス方程式 $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $ を解くこと。
• 特に $ d = 6 $ および $ d = 8 $、$ n = 2 $ の場合を含む、これまで未解決であったケースを扱うことにより、累乗和に関する先行研究を拡張すること。
• $ d = 6 $ および奇素数 $ n $ の場合に解が存在しないことを示すために、$ \mathbb{Q}(\sqrt{-105}) $ における代数的整数論とイデアルの因数分解を応用すること。
• ビルゥ、ハントロット、ヴォーティエの原始的除因子定理を用いて、可能な指数を有界化し、大きな素数の冪を除外すること。

提案手法

• $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = dx^2 + d(d+1)x + \frac{d(d+1)(2d+1)}{6} $ という恒等式を用いて、方程式を二次形式に書き直すこと。
• 平方の完成により、和を $ d\left(\left(x + \frac{d+1}{2}\right)^2 + \frac{(d-1)(d+1)}{12}\right) = y^n $ の形に表現すること。
• リーイム2.1（チャンとバイ）の適用により、$ d \in \{5,7,10\} $ の場合、$ d $ の素因数とその $ n $ における位数に基づいてケースを除外すること。
• 2進および3進の付値に関する補題（補題2.2および2.3）の使用により、$ n \mid (r-1) $ が成り立つことが示され、$ r = \text{ord}_2(d) $ または $ \text{ord}_3(d) $ の場合に $ d = 4, 9 $、および $ n \geq 3 $ の $ d = 8 $ を除外すること。
• $ d = 6 $ の場合を、$ X^2 + 105 = 6y^p $（ただし $ X = 6x + 21 $）に還元し、$ \mathbb{Q}(\sqrt{-105}) $ の整数環における因数分解を実行すること。
• ビルゥ＝ハントロット＝ヴォーティエのレーマー列および原始的除因子理論を用いて、$ p < 30 $ を有界化し、その後 $ p = 3, 5, 7, 13 $ について直接検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの完全乗数 $ y^n $ が10個以下の連続する平方数の和として表せるか？
• RQ2 $ d \in \{6,8\} $、$ n \geq 3 $、$ y \neq \pm 1 $ の場合に、$ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $ に解が存在するか？
• RQ3 $ d = 2 $、$ n = 2 $ の場合の完全な解集合は何か？
• RQ4 $ d = 6 $、$ n \geq 3 $ の場合に、方程式 $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $ に解が存在するか？
• RQ5 クラス群の構造と $ \mathbb{Q}(\sqrt{-105}) $ におけるイデアルの因数分解は、$ d = 6 $ の場合に解が存在しないことを示すために果たす役割は何か？

主な発見

• $ n \geq 3 $ の場合の唯一の解は、$ (d,x,y,n) = (2,-1,\pm1,2r), (2,-2,\pm1,2r), (2,-1,1,2r+1), (2,-2,1,2r+1), (2,118,\pm13,4), (2,-121,\pm13,4) $ である。
• $ d = 2 $、$ n = 2 $ の場合、$ 2x+3 + y\sqrt{2} = \pm(1+\sqrt{2})^{2r+1} $（$ r \in \mathbb{Z} $）によりパラメータ化される無限族の解が存在する。
• $ d = 6 $、$ n \geq 3 $ の場合、解は存在しない。これは $ \mathbb{Z}[\sqrt{-105}] $ におけるイデアルの因数分解と、関連するレーマー列における原始的除因子の不在により示された。
• $ d = 4, 8, 9 $ は、$ n \geq 3 $ の場合に2進および3進の付値の議論により除外され、$ r \geq 2 $ のとき $ n \mid (r-1) $ が成り立たないため。
• $ d = 8 $、$ n = 2 $ の場合は、合同算術により除外される：左辺は $ 6 \pmod{8} $ であるが、右辺は $ 2 \pmod{8} $ である。
• $ d = 6 $、$ n = 2 $ の場合は、$ 3(2x+7)^2 + 35 \equiv 6 \pmod{8} $ であるが、$ 2y^2 \equiv 2 \pmod{8} $ であるため、矛盾が生じる。