[論文レビュー] On possibility of realization of the Mandelbrot set in coupled continuous systems

О. Б. Исаева, С. П. Кузнецов|ArXiv.org|Sep 6, 2005

Chaos control and synchronization参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、結合されたロッサー・オシレーターを用いた、自己組織的連続力学系におけるマンデルブロ集合の物理的実現可能性を検討する。著者らは、解析性を保持するとともに位相同期を強制する新たな複素化手法を適用することで、このような系のパrameter空間においてマンデルブロ集合が出現することを示したが、厳密な同期要件のため、実験的実現は依然として困難である。

ABSTRACT

According to the method, suggested in our previous work (nlin/0509012) and based on the consideration of the specially coupled systems, the possibility of physical realization of the phenomena of complex analytic dynamics (such as Mandelbrot and Julia sets) is discussed. It is shown, that unlike the case of discrete maps or differential systems with periodic driving, investigated in mentioned work, there are some difficulties in attempts to obtain the Mandelbrot set for the coupled autonomous continuous systems. A system of coupled autonomous Rössler oscillators is considered as an example.

研究の動機と目的

• マンデルブロ集合—複素解析的ダイナミクスの顕著な特徴—が、離散写像や周期的駆動系に限らず、自律的連続系において物理的に実現可能かどうかを調査すること。
• 通常は複素写像と解析的に同等でない連続時間系において、マンデルブロ集合やジュリア集合のようなフラクタル構造を実現する課題に取り組むこと。
• 必要な解析性と対称性を保つ特定の結合スキームを通じて、複素解析的ダイナミクスを実連続系に埋め込む方法を開発すること。
• 位相同期とパrameter調整が、結合された自律的流れにおけるマンデルブロ集合の出現に果たす役割を検討すること。
• 結合オシレーターに基づく物理系におけるマンデルブロ集合の実験的観測可能性を評価すること。

提案手法

• 解析性を保つ位相依存変換を用いた、実変数の複素化を模倣する結合設計を施した2つの結合された自律的ロッサー・オシレーター系を構築する。
• ポアンカレ断面と時間平均変数に基づいて、振幅、位相、補助変数に関するODEの断面的縮約系を導出する。
• 結合が、制御パrameterがマンデルブロ集合の複素パラメータλに対応する複素二次写像を模倣するように設計されている。
• ポアンカレ断面におけるオシレーターのダイナミクスを一致させる特定のパrametrizationにより、位相同期を強制し、一般化同期の出現を可能にする。
• 周期的アトラクター（さまざまな周期）に対応する領域を特定するため、パラメータ空間（c₁, c₂）を走査する。これはマンデルブロ・カクタスに類似している。
• 数値シミュレーションと位相図を用いて、吸引域とアトラクター構造を可視化し、標準的なマンデルブロ集合およびジュリア集合と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合された自律的ロッサー・オシレーターのような連続的自己組織的力学系において、複素解析的ダイナミクスの物理的実現を通じて、マンデルブロ集合が出現可能かどうか。
• RQ2 連続系のパラメータ空間にマンデルブロ集合が出現するための条件—特に結合と同期に関する条件—は何か。
• RQ3 提案された複素化手法が、解析性をどのように保持し、実連続系にフラクタル構造（例：マンデルブロ集合）を出現可能にするか。
• RQ4 位相のずれや非同時ポアンカレ断面が、このような系におけるマンデルブロ集合の形成に及ぼす影響の程度はどの程度か。
• RQ5 結合系のパラメータ空間構造は、特に周期的ウィンドウと分岐カスケードの観点から、標準的なマンデルブロ集合と定性的に類似しているか。

主な発見

• 解析性を保持する特別に設計された複素化および結合機構を用いることで、結合された自律的ロッサー・オシレーターのパラメータ空間にマンデルブロ集合を実現可能である。
• 得られたパラメータ空間図（c₁, c₂）は、標準的なマンデルブロ集合に類似した構造を示しており、メイン・カルディオイドと、周期倍分岐および周期倍乗分岐に対応する埋め込まれた周期的ウィンドウを含む。
• 位相平面における周期的軌道（例：周期1, 2, 3, 4, 9）の吸引域は、パラメータ値に応じて連結構造と非連結構造を示し、標準的なジュリア集合に類似している。
• 位相同期は極めて重要である：同期がなければ、フラクタル構造は出現せず、系のダイナミクスは複素二次写像にマッピングされない。
• 式（15）のODEの断面的縮約系は、複素写像のダイナミクスを正確に再現できるが、正確な位相制御と結合の必要性のため、実験的実現は依然困難である。
• 本研究では、流れ系におけるCAD現象のコディメンジョンがより高くなる可能性が同定されており、マンデルブロ集合が2次元平面ではなく、パラメータ空間上の表面に現れる可能性がある。