[論文レビュー] On precanonical quantization of gravity

Igor V. Kanatchikov|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、空間と時間を等価に扱うDe Donder-Weylハミルトニアン形式を用いて、量子重力に対する前正準化量子化のアプローチを提案する。これにより、クリフォード代数値の波動関数に対する共変な前正準シュレーディンガー方程式が導かれる。その結果、スピン接続の演算子値距離および遷移振幅が得られ、大規模構造に影響を及える可能性のある宇宙論的スピン接続の予測確率分布が得られる。

ABSTRACT

Precanonical quantization is based on the mathematical structures of the De Donder-Weyl Hamiltonization of field theories. The resulting formulation of quantum gravity describes the quantum geometry of space-time in terms of operator-valued distances and the transition amplitudes between the values of spin connection at different points of space-time, which obey the covariant precanonical analogue of the Schrödinger equation. In the context of quantum cosmology the theory predicts a probability distribution of a cosmological spin-connection field, which may have an observable impact on the large scale structures in the universe.

研究の動機と目的

• 時間の問題を解消するために、空間と時間の正準的区別を排除すること。
• De Donder-Weylハミルトニアン形式を用いて、重力の明示的な共変量子化枠組みを構築すること。
• 演算子値距離やスピン接続値間の遷移振幅といった、量子幾何的観測可能性を導出すること。
• 前正準化量子化が量子宇宙論に与える影響を検討すること、特に宇宙論的スピン接続場の確率分布について。
• 予測されたスピン接続の量子揺らぎが、大規模宇宙構造に観測可能な痕跡を残すかどうかを検証すること。

提案手法

• 空間時間変数を対称的に扱うために、ポリモーメンタとDWハミルトニアン関数を用いて重力を定式化する。
• 多様体形式へのポリシンプレクティック構造を導入し、微分形式上のポisson括弧を定義することで、Poisson代数のGerstenhaber代数への一般化を得る。
• 多様体形式の基本括弧を、ポリモーメンタと(n-1)形式のクリフォード代数値演算子を用いて量子化する。ここで、次元を持つパラメータ $\mu\kappa$ は空間の量子として解釈される。
• 前正準シュレーディンガー方程式を導出：$i\hbar\varkappa\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi = \widehat{H}\Psi$、ここで $\Psi$ はクリフォード代数値の波動関数である。
• 4次元平坦なFLRW計量と調和時間の下で、形式を宇宙論に適用し、スピン接続変数 $\omega$ における径数型方程式に還元する。
• 変数分離法を用いて方程式を解き、スピン接続振幅の確率密度 $\rho(\omega) \sim (9\omega^{2} + \bar{q}q)^{-c/3}$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間を優先しない明示的な共変量子化が、時間の問題を解消するために重力に適用可能か。
• RQ2 前正準化アプローチによって予測される量子幾何的観測可能性（距離や遷移振幅など）は何か。
• RQ3 前正準シュレーディンガー方程式は、古典的極限において古典的場方程式およびハミルトン・ヤコビ方程式をどのように再現するか。
• RQ4 前正準化量子化が、大規模構造に影響を及える可能性がある非自明な宇宙論的スピン接続場の確率分布を予測するか。
• RQ5 空間の量子として解釈されるパラメータ $\varkappa$ が、プランクスケールや宇宙定数と関係づけられるか。また、その結果、量子場理論におけるUVカットオフにどのような意味を持つのか。

主な発見

• 前正準シュレーディンガー方程式は、スピン接続の異なる時空点間の遷移振幅を生成する共変な量子ダイナミクスをもたらす。
• 計量テンソルは演算子値である：$\widehat{g^{\mu\nu}} = -\hbar^{2}\varkappa^{2}\kappa_{E}^{2}\eta^{IJ}\eta^{KL}\frac{\partial^{2}}{\partial\omega^{IK}_{\mu}\partial\omega^{JL}_{\nu}}$、これは時空の量子幾何学を示唆する。
• 量子宇宙論において、解はスピン接続場の確率密度 $\rho(\omega) \sim (9\omega^{2} + \bar{q}q)^{-c/3}$ を与え、これは量子揺らぎまたは量子宇宙の分布として解釈される。
• 方程式に含まれる有効な宇宙定数 $c$ には、項 $\Lambda/({\hbar\varkappa\kappa_{E}})^{2}$ が含まれており、$\varkappa$ とUVカットオフスケールとの関係を示唆する。
• このモデルは、宇宙定数が純粋な量子重力の基底状態によるものではないことを示唆している。$\varkappa$ は真空エネルギーだけでなく、UVカットオフとも関係しているため。
• 波動関数の正規化可能性は、$\omega$ が大きい、つまり時空曲率が高いときに $\Psi$ が消えることから、量子的特異点回避を示唆する。