[論文レビュー] On a generalization of the Dirac bracket in the De Donder-Weyl Hamiltonian formalism

Igor V. Kanatchikov|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2008

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、退化ラグランジュ場理論のためのDe Donder-Weyl (DW) ハミルトニアン形式へディラック括弧を一般化し、多シンプレクティック場理論における制約付き力学へ拡張する。第二類制約下でもポincare-ゲルステンハーバー代数構造を保つディラックに類似した括弧を導入し、制約が弱く消えること、および括弧が反対称性と一般化されたジャコビ恒等式を満たすことを保証する。

ABSTRACT

The elements of the contrained dynamics algorithm in the De Donder-Weyl (DW) Hamiltonian theory for degenerate Lagrangian theories are discussed. A generalization of the Dirac bracket to the DW Hamiltonian theory with second class constraints (defined in the text) is presented.

研究の動機と目的

• 退化ラグランジュ場理論のためのDe Donder-Weylハミルトニアン枠組みへのディラック括弧形式の拡張を目的とする。
• スピン場など標準的正則性条件が成立しない場の理論における制約付き力学の課題に取り組む。
• 第二類制約を尊重し代数的閉包を保つハミルトニアン $(n-1)$-形式上の一貫した括弧演算を定義する。
• 場理論の明示的時空対称性を持つプリケイネティックな量子化の古典的基盤を提供する。
• Lepageの同等形式および制約付き変分法を用いた幾何的解釈を検討する。

提案手法

• 点粒子力学におけるディラック括弧構成を、De Donder-Weyl形式の多シンプレクティック設定へ適応する。
• ポincare-ゲルステンハーバー括弧と制約括弧行列 $\mathfrak{C}_{mn}^{-1}$ の逆行列を用いて、ハミルトニアン $(n-1)$-形式の一般化されたディラック括弧を定義する。
• 修正された括弧式を導入：$\{[F,G]\}^D = \{[F,G]\} - \sigma \{[F,\mathfrak{C}_m]\} \bullet (\mathfrak{C}_{mn}^{-1} \wedge \{[\mathfrak{C}_n,G]\})$、ここで $\sigma$ は符号因子である。
• 制約との括弧が弱く消えることを保証するため、制約の閉包から導かれる条件 $\{[F^\prime,\mathfrak{C}_k]\} \approx 0$ を用いる。
• ライプニッツに類似した性質を用いて、0-形式を含む括弧へ拡張する：$\{[F,kG]\}^D = \{[F,k]\}^D G + k \{[F,G]\}^D$、代数的一致性を保つ。
• 微分形式の垂直形式による同値類を用いることで、ポリシンプレクティック構造におけるゲージ不変性および接続不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック括弧形式を退化場理論のDe Donder-Weylハミルトニアン形式へどのように一般化できるか？
• RQ2 第二類制約を伴う多シンプレクティック場理論における制約付き力学に適した代数的構造は何か？
• RQ3 ポincare-ゲルステンハーバー括弧をどのように修正すれば、制約が弱く消えつつ反対称性とジャコビ恒等式を保てるか？
• RQ4 一般化されたディラック括弧は0-形式または $n$-形式との積に対してどのように振る舞い、ライプニッツ型規則を満たすか？
• RQ5 この構成は、Lepageの同等形式または変分法における制約付きカルタン形式を用いて幾何的に解釈可能か？

主な発見

• 一般化されたディラック括弧 $\{[F,G]\}^D$ はハミルトニアン $(n-1)$-形式に対して定義され、弱い反対称性 $\{[F,G]\}^D \approx -\{[G,F]\}^D$ を満たす。
• 括弧は一般化されたジャコビ恒等式を満たす：$\{[\{[F,G]\}^D,K]\}^D + \{[\{[G,K]\}^D,F]\}^D + \{[\{[K,F]\}^D,G]\}^D \approx 0$。
• 任意のハミルトニアン $(n-1)$-形式と第二類制約とのディラック括弧は弱く消える：$\{[F^\prime,\mathfrak{C}_k]\} \approx 0$、これにより制約が保存される。
• 0-形式との括弧はライプニッツ性質を満たす：$\{[F,kG]\}^D = \{[F,k]\}^D G + k \{[F,G]\}^D$ および $\{[F,kl]\}^D = \{[F,k]\}^D l + k \{[F,l]\}^D$、積への一貫性が拡張される。
• 垂直形式による同値類の使用により、接続や代表形式の選択に依存しない。
• この形式は、ディラックスピン場など、De Donder-Weylの意味で退化しているが第二類制約を有する特異場理論に適用可能である。