[論文レビュー] On products of Gaussian random variables

Željka Stojanac, Daniel Suess+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2017

Numerical Methods and Algorithms参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、独立したガウス確率変数の積、その二乗、絶対値の累積分布関数（CDF）に対して、フォックスH関数およびメイジャーG関数を用いたパワー・ログ級数展開を開発する。非負のケースにおけるモーメント生成関数（MGF）を導出し、低次の切り捨てを用いたタイトなチーンフォールド境界を確立することで、高次元テンソルセンシングおよび信号処理応用における尾確率の正確な近似が可能になる。

ABSTRACT

Sums of independent random variables form the basis of many fundamental theorems in probability theory and statistics, and therefore, are well understood. The related problem of characterizing products of independent random variables seems to be much more challenging. In this work, we investigate such products of normal random variables, products of their absolute values, and products of their squares. We compute power-log series expansions of their cumulative distribution function (CDF) based on the theory of Fox H-functions. Numerically we show that for small arguments the CDFs are well approximated by the lowest orders of this expansion. For the two non-negative random variables, we also compute the moment generating functions in terms of Meijer G-functions, and consequently, obtain a Chernoff bound for sums of such random variables.

研究の動機と目的

• 独立した標準ガウス確率変数の積、その二乗および絶対値の分布を特定すること。
• これらの積の累積分布関数（CDF）の正確で数値的に取り扱いやすい近似を構築すること。
• 非負のバージョン（二乗および絶対値の積）のモーメント生成関数（MGF）をメイジャーG関数を用いて表現すること。
• このような積の和のためのチーンフォールド境界を導出し、高次元設定における尾確率推定を可能にすること。
• テンソルセンシングおよび関連応用における積分布を含む統計的推論の基盤を提供すること。

提案手法

• フォックスH関数理論を用いて、X（ガウス変数の積）、Y（二乗の積）、Z（絶対値の積）のCDFに対するパワー・ログ級数展開を導出する。
• YおよびZのモーメント生成関数（MGF）をメイジャーG関数を用いて表現し、モーメント計算およびチーンフォールド境界の導出を可能にする。
• 得られたMGFを用いて、i.i.d.なYおよびZのコピーの和にチーンフォールド不等式を適用し、尾確率をバウンドする。
• パワー・ログ級数の低次の切り捨てを用いて、特に小さな引数に対してCDFのタイトな数値的近似を達成する。
• 大引数におけるメイジャーG関数の漸近的近似を用いて、チーンフォールド境界を簡略化する。
• 数値的妥当性を確認し、さまざまな次元および尾領域において、低次の展開および境界のタイトさを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立した標準ガウス確率変数の積の累積分布関数（CDF）を、高い精度でどのように近似できるか？
• RQ2 二乗または絶対値のガウス変数の積のモーメント生成関数（MGF）の構造は何か？ そして、特殊関数を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 メイジャーG関数表現を用いて、このような積変数の和のチーンフォールド境界を導出し、簡略化できるか？
• RQ4 低次のパワー・ログ級数展開は、特に小さな値において、これらの積分布のCDFをどれほど正確に近似できるか？
• RQ5 これらの近似は、テンソルセンシングのような高次元問題において、実用的意味を持つのか？

主な発見

• パワー・ログ級数展開の低次の切り捨ては、特に小さな引数において、ガウス変数の積のCDFに対してタイトな近似を提供する。
• 二乗および絶対値のガウス変数の積のモーメント生成関数（MGF）は、メイジャーG関数を用いて表現され、正確なモーメント計算を可能にする。
• Y（二乗の積）およびZ（絶対値の積）のi.i.d.コピーの和のチーンフォールド境界が、MGFを用いて導出され、簡略化された形で得られる。
• 導出されたチーンフォールド境界は数値的に妥当性が確認され、特に中程度および小さな尾領域において、単純な境界よりもタイトであることが示された。
• 積分布のモーメント計算を通じて、特定のメイジャーG関数に関する新しい恒等式が確立された。
• 近似の品質は次元Nの増加に伴い向上し、特にメイジャーG関数に基づく境界において顕著である。