[論文レビュー] On Progressive Filtration Expansions with a Process; Applications to Insider Trading

Younes Kchia, Philip Protter|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、 càdlàg プロセスを用いた段階的フィルトレーション拡張のためのフレームワークを構築し、基本フィルトレーションにおける半マルティンゲールが拡張フィルトレーションにおいても半マルティンゲールの性質を保つための十分条件を確立する。主な貢献は、σ-場の弱収束に基づく半マルティンゲール収束定理であり、この定理は、内部者によるノイズが混ざり、遅れて到着する情報を観測するインサイダー取引モデルに応用され、拡張フィルトレーション下で異なるリスク中立測度と統計的アービタージュ機会が生じることを示している。

ABSTRACT

In this paper we study progressive filtration expansions with càdlàg processes. Using results from the theory of the weak convergence of $σ$-fields, we first establish a semimartingale convergence theorem. Then we apply it in a filtration expansion with a process setting and provide sufficient conditions for a semimartingale of the base filtration to remain a semimartingale in the expanded filtration. Applications to the expansion of a Brownian filtration are given. The paper concludes with applications to models of insider trading in financial mathematics.

研究の動機と目的

• ランダム変数から連続時間確率過程、特に càdlàg プロセスへとフィルトレーション拡張理論を拡張すること。
• フィルトレーションが動的で変化するプロセスによって拡張される場合に、半マルティンゲールの性質が保存されるかどうかという重要な問題に取り組むこと。
• 基本フィルトレーションにおける半マルティンゲールが、拡張フィルトレーションにおいても半マルティンゲールのままであることを保証する十分条件を提供すること。
• インサイダーがノイズが混ざり、遅れて到着する情報を観測する状況をモデル化し、その結果生じるリスク中立測度の変化とアービタージュ機会の分析を行うこと。
• 理論的フレームワークをハイフリクエンシートレーディング、特に小さなノイズを伴う限界注文簿に応用し、統計的アービタージュ戦略を導出すること。

提案手法

• Antonelli, Coquet, Kohatsu-Higa, Mackevicius, Mémin, Slominski の最近の理論的業績に基づく σ-場の弱収束を利用する。
• Barlow と Protter の半マルティンゲール収束に関する結果の拡張を、動的フィルトレーション拡張に適用する。
• Bally と Talay のアイデアにインspiredされた密度推定を用いて、拡張における後向き時間プロセスを扱う。
• 拡張された情報フロー下でのリスク中立測度を計算するために、拡張フィルトレーションにおける Girsanov の定理を適用する。
• 確率積分計算とマルティンゲール表現定理を用いて、拡張フィルトレーションにおける明示的な半マルティンゲール分解を導出する。
• 特異性が時間 $ t=1 $ で生じるのを防ぐために、局所的 NFLVR（非ゼロリスクの自由なランチ）条件を導入し、リスク中立測度の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本フィルトレーションにおける半マルティンゲールが、càdlàg プロセスによってフィルトレーションが拡張された場合に、どの条件下で半マルティンゲールの性質を保つのか。
• RQ2 ノイズが混ざり、遅れて到着するプロセス（例：$ X_t = W_1 + \varepsilon V_{1-t} $）の導入が、半マルティンゲール分解とリスク中立測度にどのように影響を与えるか。
• RQ3 σ-場の弱収束理論が、動的フィルトレーション拡張における半マルティンゲール性の保存を厳密に正当化するために利用可能か。
• RQ4 このような拡張が、情報が不完全なハイフリクエンシートレーディングにおけるインサイダー取引モデルに及ぼす影響は何か。
• RQ5 Girsanov 変換におけるドリフト補正項が終端時刻で特異性を示す場合、Novikov の基準はどのように適用または修正できるか。

主な発見

• 定理 6 は、σ-場の弱収束の下で一般化された半マルティンゲール収束結果を確立し、動的フィルトレーション拡張の分析を可能にする。
• 定理 10 は、拡張が càdlàg プロセスによって駆動される場合に、基本フィルトレーションにおける半マルティンゲールが拡張フィルトレーションでも半マルティンゲールのままであるための十分条件を提供する。
• 定理 17 は、拡張フィルトレーション $ \mathbb{H} $ におけるプロセス $ Z $ の明示的な半マルティンゲール分解を導出し、インサイダーがノイズ混じりの情報をフィルタリングすることによって修正されたドリフトを観測することを示している。
• インサイダー・フィルトレーション $ \mathbb{H} $ におけるリスク中立測度は、$ \frac{X_s - W_s}{(1+\varepsilon^2)(1-s)} $ を含むドリフト補正項を伴う Girsanov 変換を経て定義され、$ s=1 $ で特異性を示す。
• 特異性が $ t=1 $ に存在するため、一般には Novikov の基準はインサイダーのリスク中立測度に対して成立しないが、局所的 NFLVR 条件を導入するか、時間区間を $[0,1)$ に制限することでこれを解決できる。
• モデルは、ノイズが混ざり、後向き時間に情報を得るインサイダーが、市場の見方とは異なる有効な資産価格ダイナミクスを介して統計的アービタージュを達成できることを示している。