[論文レビュー] On properties of the Generalized Wasserstein distance

Benedetto Piccoli, Francesco Rossi|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、質量輸送と質量の創出/消失を重み付けすることで最適輸送と全 Variation を統合する一般化 Wasserstein 距離 $W_{p}^{a,b}$ を導入し、分析する。主な結果として、$W_2^{a,b}$ と運動エネルギーと源項を組み合わせた作用関数にリンクする一般化 Benamou-Brenier 公式、および $W_1^{1,1}$ がフラット距離に等しくなる Kantorovich-Rubinstein 型双対性を確立し、質量変動を伴う測度への古典的双対性の拡張を実現する。

ABSTRACT

The Wasserstein distances $W_p$ ($p\geq 1$), defined in terms of solution to the Monge-Kantorovich problem, are known to be a useful tool to investigate transport equations. In particular, the Benamou-Brenier formula characterizes the square of the Wasserstein distance $W_2$ as the infimum of the kinetic energy, or action functional, of all vector fields moving one measure to the other. Another important property of the Wasserstein distances is the Kantorovich-Rubinstein duality stating the equality between the distance $W_1$ and the supremum of the integrals of Lipschitz continuous functions with Lipschitz constant bounded by one. An intrinsic limitation of Wasserstein distances is the fact that they are defined only between measures having the same mass. To overcome such limitation, we recently introduced the generalized Wasserstein distances $W_p^{a,b}$, defined in terms of both the classical Wasserstein distance $W_p$ and the total variation (or $L^1$) distance. Here $p$ plays the same role as for the classic Wasserstein distance, while $a$ and $b$ are weights for the transport and the total variation term. In this paper we prove two important properties of the generalized Wasserstein distances: 1) a generalized Benamou-Brenier formula providing the equality between $W_2^{a,b}$ and the supremum of an action functional, which includes a transport term (kinetic energy) and a source term. 2) a duality à la Kantorovich-Rubinstein establishing the equality between $W_1^{1,1}$ and the flat metric.

研究の動機と目的

• 古典的 Wasserstein 距離の主な限界である質量が等しくない測度を許容するように Wasserstein 距離枠組みを拡張すること。
• 重み $a$ と $b$ を用いて輸送コストと全 Variation コストをバランスさせる一般化距離 $W_p^{a,b}$ を定義すること。
• $W_2^{a,b}$ に対して、輸送と源項を組み合わせた作用関数を用いた一般化 Benamou-Brenier 公式を確立すること。
• $W_1^{1,1}$ に対して双対性結果を証明し、質量が不等な測度に対しても Kantorovich-Rubinstein 定理の拡張としてフラット距離に等しいことを示すこと。

提案手法

• 質量が等しい中間測度 $\tilde{\mu}, \tilde{\nu}$ の下での最小化問題の $p$ 乗根として、一般化 Wasserstein 距離 $W_p^{a,b}\left(\nu_0, \nu_1\right)$ を定義する。
• 源項と輸送コストを組み合わせた一般化作用関数 $\mathcal{B}^{a,b}[\mu, v, h] = a^2 \left( \int_0^1 \|h_t\|_{TV} dt \right)^2 + b^2 \int_0^1 \int |v_t|^2 d\mu_t dt$ を定式化する。
• 近似解 $(\mu^k, v^k, h^k)$ の列を構成することで、最適作用への収束を示し、一般化 Benamou-Brenier 公式を証明する。
• 運動エネルギー項 $|m_t|^2 / \rho_t$ の凸性と正則化を用いた極限的議論により、$L^2$ ベクトル場へ結果を拡張する。
• 双対性を確立するため、$W_1^{1,1}(\mu, \nu) = \sup \left\{ \int f d(\mu - \nu) \, : \, \|f\|_{Lip} \leq 1, \|f\|_{C^0} \leq 1 \right\}$ を示し、フラット距離に等しいことを証明する。
• 最適輸送理論における既知の結果（最適マップの存在や標準 Benamou-Brenier 公式）を活用し、一般化理論を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量保存が成り立たない（源項が非ゼロ）な測度動的系に対して、Benamou-Brenier 公式を拡張することは可能か？
• RQ2 $W_2^{a,b}$ は、輸送と源項の両方を含む作用関数による変分的特徴づけを有するか？
• RQ3 $W_1^{1,1}$ に対して、質量が不等な測度に対しても Kantorovich-Rubinstein 定理に類似した双対性結果が存在するか？
• RQ4 $W_p^{a,b}$ は、質量創出と輸送コストの両方を含む適切な作用関数の下界として特徴づけられるか？
• RQ5 $a = b = 1$ のとき、一般化距離はフラット距離とどのように関係するか？

主な発見

• 一般化 Wasserstein 距離 $W_1^{1,1}(\mu, \nu)$ は正確にフラット距離に等しくなり、質量が不等な測度に対しても Kantorovich-Rubinstein 定理に類似した双対性を確立する。
• 一般化 Benamou-Brenier 公式が成立する：$T_2^{a,b}(\mu_0, \mu_1) = \inf \left\{ \mathcal{B}^{a,b}[\mu, v, h] \ \middle| \ \partial_t \mu_t + \nabla \cdot (v_t \mu_t) = h_t, \ \mu_0, \mu_1 \text{ 固定} \right\}$ であり、$\mathcal{B}^{a,b}$ は源項と輸送コストを組み合わせる。
• 作用関数 $\mathcal{B}^{a,b}$ は $\mu_t, v_t, h_t$ の変数に関して凸であるため、変分法の適用が可能である。
• 一般化距離 $W_2^{a,b}$ は、源項を伴う連続の方程式のすべての解の上での作用関数 $\mathcal{B}^{a,b}$ の下界として特徴づけられる。
• 近似解の列 $(\mu^k, v^k, h^k)$ は、$\lim_{k \to \infty} \mathcal{B}^{a,b}[\mu^k, v^k, h^k] \leq (1 - 2^{-k+1})^{-1} T_2^{a,b}(\mu_0, \mu_1)$ を満たし、最適値への収束を証明する。
• 一般化距離 $W_p^{a,b}$ は $a = 0$ のとき標準 Wasserstein 距離 $W_p$ に、$b = 0$ のとき全 Variation 距離に還元され、古典的ケースと整合性を保つ。