[論文レビュー] On quadratic orbital networks

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Graph theory and applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限体 𝔽ₚ 上の2次写像 Tᵢ(x) = x² + aᵢ によって生成される動的系から定義される2次軌道ネットワークを研究する。連結性、オイラー乗数、クリーク構造、平面性、径路、帰納次元の解析を行い、d=1の生成子の場合、オイラー乗数が非負であることを証明する。一方、d=2 かつ p が十分に大きい場合、オイラー乗数は負になる。p→∞ のとき、これらのネットワークの帰納次元は 1 に収束し、d≥2 の場合、十分に大きな p に対して非平面であると予想される。

ABSTRACT

These are some informal remarks on quadratic orbital networks over finite fields. We discuss connectivity, Euler characteristic, number of cliques, planarity, diameter and inductive dimension. We find a non-trivial disconnected graph for d=3. We prove that for d=1 generators, the Euler characteristic is always non-negative and for d=2 and large enough p the Euler characteristic is negative. While for d=1, all networks are planar, we suspect that for d larger or equal to 2 and large enough prime p, all networks are non-planar. As a consequence on bounds for the number of complete sub graphs of a fixed dimension, the inductive dimension of all these networks goes 1 as p goes to infinity.

研究の動機と目的

• 有限体上の2次写像によって生成される有限動的ネットワークの構造的・位相的性質を調査すること。
• 体のサイズ p→∞ の際の主要なグラフ不変量—オイラー乗数、クリーク数、径路、帰納次元—の漸近的挙動を理解すること。
• 生成子の数 d と素数 p の変化に応じて、2次軌道ネットワークの連結性、平面性、次元性を特定すること。
• d=3 の生成子を持つ例外的な非連結グラフの存在と希少性を調査し、その構造的性質を分析すること。

提案手法

• 軌道ネットワークを、頂点集合が 𝔽ₚ で、ある生成子 Tᵢ に対して Tᵢ(x)=y または Tᵢ(y)=x であるような x と y の間に辺を張る単純有限グラフとして定義する。
• 2次写像 Tᵢ(x) = x² + aᵢ の合成を用いて、時間発展をモノイド力学系でモデル化する。
• 単位球面再帰を用いて帰納次元を定義する：dim(G) = 1 + (1/|V|)∑ᵥ dim(S(v)) ここで S(v) は v のリンクである。
• ディオファントス方程式の評価を用いて、固定された d と m に対して Kₘ₊₁ 部分グラフの数が一様に有界であることを示す。
• カラトフスキーの定理を用いて、K₃,₃ または K₅ の部分グラフを探索することで、平面性を分析する。
• 小規模な素数や滑らかな数に対して計算実験を行い、連結性、オイラー乗数、次元のパターンを観察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d=1 の場合、有限体 𝔽ₚ 上の2次軌道ネットワークのオイラー乗数は常に非負か？
• RQ2 d=2 かつ p が十分に大きい場合、オイラー乗数は負になるか？その漸近的挙動は？
• RQ3 d≥2 かつ p が十分に大きい場合、2次軌道ネットワークは常に非平面か？もしそうなら、どのような構造的特徴がこれを強制するか？
• RQ4 p→∞ のとき、これらのネットワークの帰納次元は 1 に収束するか？また、どの d と p に対して最大値をとるか？
• RQ5 d=3 の生成子を持つ非連結2次軌道ネットワークは有限個しか存在しないか？その例外的なケースはどのように特徴づけられるか？

主な発見

• d=1 の場合、有限体 𝔽ₚ 上の2次軌道ネットワークのオイラー乗数は常に非負である。
• d=2 かつ十分に大きな p の場合、オイラー乗数は負になる。
• p→∞ のとき、2次軌道ネットワークの帰納次元は d にかかわらず 1 に収束する。
• Xₚᵈ に属する任意のネットワークにおいて、Kₘ₊₁ 部分グラフの数は、d と m にのみ依存する定数によって一様に有界である。
• d=3 の任意のネットワークには K₆ 部分グラフが存在せず、p≤47 の場合、K₅ 部分グラフも存在しない。
• d=2 の生成子を持つ最大の既知の平面的2次軌道ネットワークは p=23 で発生する。p>23 の場合、より大きな平面的例は見つかっていない。