[論文レビュー] On Reeb graphs induced from smooth functions on 3-dimensional closed orientable manifolds with finitely many singular values

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、与えられた有限で連結なグラフ（良い関数と辺に非負整数が割り当てられたもの）のReeb図が、3次元の閉じた、連結で、向き付け可能な多様体上の滑らかな関数のReeb図に同型であるような滑らかな関数の構成を行う。この構成により、辺に沿った正則値の逆像が指定された genus の閉じた向きつけ可能な曲面となることが保証され、特異点はモース関数と折りたたみ写像を用いて制御され、頂点および辺に対して明示的な局所モデルが与えられる。

ABSTRACT

The Reeb graph of a function on a smooth manifold is the graph obtained as the space of all connected components of level sets such that the set of all vertices coincides with the set of all connected components of level sets including singular points. Reeb graphs are fundamental and important in the algebraic and differential topological theory of Morse functions and their generalizations. In this paper, as a related fundamental and important study, for given graphs, we construct certain smooth functions inducing the graphs as the Reeb graphs. Such works have been demonstrated by Masumoto, Michalak, Saeki, Sharko etc. and also by the author since 2000s. We present new smooth functions on suitable $3$-dimensional closed orientable manifolds through explicit constructive methods.

研究の動機と目的

• 任意の有限で連結なグラフ（良い関数と辺に genus の割り当てがあるもの）を、3次元の閉じた、連結で、向きつけ可能な多様体上の滑らかな関数のReeb図として実現するための構成的技法を確立すること。
• 正則値の逆像の位相を、各辺に割り当てられた genus の値によって制御し、それが指定された genus の閉じた向きつけ可能な曲面となるように保証すること。
• 頂点における特異点を、モース関数、準同型写像、または高さ関数との合成による折りたたみ写像を用いて明示的にモデル化し、正確な局所的挙動を保証すること。
• 得られる多様体が向きつけ可能であり、グローバル関数が滑らかで、特異値が有限個であることを保証すること。
• 従来のReeb図の実現に関する結果を一般化する構成的枠組みを提供すること、特に3次元多様体および特異点が制御された非モース関数に対して有効であることを示すこと。

提案手法

• グラフ上に良い関数を定義し、各辺上で単射となるようにする。これは、グラフにループがないことと同値である。
• 頂点の周囲に、2次元の球上でのモース関数または高さ関数との合成による折りたたみ写像を用いた局所モデルを構成し、指定された特異点型を満たすようにする。
• 各辺に対して、閉じた向きつけ可能な曲面（その辺に割り当てられた整数に等しい genus を持つ）をファイバーとする、自明な滑らかなバンドルを定義する。
• 3次元多様体から2次元の多面体への折りたたみ写像を構成し、点の逆像が円、2つの円からなるバウケット、またはl個の円の点を特定の方法で同一視して得られる1次元多面体となるようにする。
• 有限個の特異点を除いた後に、折りたたみ写像の特異集合が埋め込まれていることを保証し、これらの除去された点が1つの逆像に含まれるようにする。
• 微分同相写像を用いて、すべての局所関数を貼り合わせ、コンパクトで閉じた3次元多様体上の滑らかで向きつけ可能なグローバル関数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限で連結なグラフ（良い関数と辺に genus の割り当てがあるもの）は、3次元の閉じた、連結で、向きつけ可能な多様体上の滑らかな関数のReeb図として実現可能か？
• RQ2 3次元多様体が、与えられたグラフ（辺に genus の割り当てあり）のReeb図に同型となる滑らかな関数をもつための必要十分条件は何か？
• RQ3 特異点を明示的にモデル化（例：モース関数、折りたたみ写像、準同型写像との合成）することで、Reeb図の構造と逆像の位相が保たれるようにするにはどうすればよいか？
• RQ4 この構成は非向きつけ可能な多様体へ拡張可能か？その場合、どのような位相的障害が生じるか？
• RQ5 関数のクラスを制限（例：モース関数に制限）した場合、与えられたReeb図（辺に genus の割り当てあり）を実現できる多様体のクラスにどのような制限が生じるか？

主な発見

• 任意の有限で連結なグラフ G と、良い関数および辺に非負整数が割り当てられたものに対して、3次元の閉じた、連結で、向きつけ可能な多様体 M と、M 上の滑らかな関数 f が存在し、Reeb図 W_f が G に同型である。
• 辺の内部における正則値の逆像は、その辺に割り当てられた整数に等しい genus の閉じた、向きつけ可能な曲面である。
• 頂点において、関数 f は g∘φ の形の合成により値をとる。ここで g は G 上の良い関数、φ は W_f と G 間の同型写像である。
• 関数 f の特異点は、モース関数、準同型写像とモース関数との合成、または2次元の球上での高さ関数との合成による折りたたみ写像としてモデル化される。
• 次数1の頂点に対して、f の小さな近傍への制限は、2次元球上での高さ関数との合成による折りたたみ写像であり、その折りたたみ写像は逆像および特異集合に関して特定の位相的条件を満たす。
• この構成により、得られる多様体は向きつけ可能であり、グローバル関数は滑らかで、特異値が有限個であることが保証される。開多様体にコンパクトな端を持つものからの標準的拡張が用いられる。