[論文レビュー] Reeb spaces of smooth functions on manifolds

Osamu Saeki|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、閉多様体上の滑らかな関数で臨界値が有限個であるもののReeb空間がループのない有限グラフであることを確立し、任意の such グラフが所定のレベル集合の位相型を備えた滑らかな関数のReeb空間として実現可能であることを証明している。さらに、閉多様体から有限グラフへの連続写像で基本群に全射を誘導するものについて、それがこのような関数のReeb空間への商写像にホモトープであることを示している。

ABSTRACT

The Reeb space of a continuous function is the space of connected components of the level sets. In this paper we first prove that the Reeb space of a smooth function on a closed manifold with finitely many critical values has the structure of a finite graph without loops. We also show that an arbitrary finite graph without loops can be realized as the Reeb space of a certain smooth function on a closed manifold with finitely many critical values, where the corresponding level sets can also be preassigned. Finally, we show that a continuous map of a smooth closed connected manifold to a finite connected graph without loops that induces an epimorphism between the fundamental groups is identified with the natural quotient map to the Reeb space of a certain smooth function with finitely many critical values, up to homotopy.

研究の動機と目的

• 臨界値が有限個である閉多様体上の滑らかな関数のReeb空間の位相的構造を同定すること。
• ループのない任意の有限グラフが、臨界値が有限個である閉多様体上の滑らかな関数のReeb空間として実現可能であることを証明すること。
• Reeb空間の商写像を通じて、閉多様体から有限でループのないグラフへの連続写像のホモトピー分類を確立すること。
• 頂点および辺に事前に割り当てられたレベル集合の微分同相型を備えた装飾付きグラフの実現定理を提供すること。
• 基本群の全射性条件が、写像がReeb空間の商写像にホモトープであるための必要十分条件であることを示すこと。

提案手法

• 特に孤立した臨界値における有限成分に関する補題3.8を用いて、臨界値が有限個である滑らかな関数のReeb空間がループのない有限グラフであることを、位相的技法を用いて証明する。
• ハンドル上の非特異関数と頂点上の定数関数を境界の微分同相型に関する整合性条件を満たすように貼り合わせることで、多様体上の滑らかな関数を構成する。
• ソルジャリの技法を用いて、ターゲットグラフの辺に対応する、(m−1)次元部分多様体をソース多様体に埋め込む。
• 同倫とチューブ近傍の構成を用いて、関数の組み立て過程における成分同士の交差を避け、滑らかに貼り合わせることを保証する。
• 頂点を除いたグラフの収縮性を活用して、商写像と与えられた連続写像との間のホモトピー同値性を確立する。
• 事前に割り当てられたレベル集合成分の微分同相型を符号化するために、m-装飾付きグラフの概念を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界値が有限個である閉多様体上の滑らかな関数のReeb空間は、どのような位相的構造を有するか？
• RQ2 ループのない任意の有限グラフが、臨界値が有限個である閉多様体上の滑らかな関数として、かつ所定のレベル集合の位相型を備えて実現可能か？
• RQ3 閉多様体から有限でループのないグラフへの連続写像が、臨界値が有限個である滑らかな関数のReeb空間への商写像にホモトープであるための条件は何か？
• RQ4 多様体の基本群と、与えられたグラフがReeb空間として実現可能である関係は何か？
• RQ5 与えられた装飾付きグラフと一致するReeb空間を持つ滑らかな関数を、臨界値が有限個であるようにどのように構成できるか？

主な発見

• 臨界値が有限個である閉多様体上の滑らかな関数のReeb空間は、常にループのない有限グラフである。
• ループのない任意の有限グラフは、臨界値が有限個である閉多様体上の滑らかな関数として実現可能であり、そのレベル集合成分の微分同相型を事前に割り当てることができる。
• 次元 $m \geq 2$ の連結な閉多様体から、ループのない連結な有限グラフへの連続写像が、臨界値が有限個である滑らかな関数のReeb空間への商写像にホモトープであるための必要十分条件は、それが基本群に全射を誘導することである。
• 基本群の条件は、このようなホモトピー的実現のための必要十分条件である。
• グラフの第一ベッチ数は、多様体の基本群の余ランクによって上から抑えられ、実現可能性に対する位相的障害を提供する。
• パスReeb空間は、臨界点が有限個である滑らかな関数に対しても、一般にはグラフ構造を持たないが、関数の臨界点が有限個の場合は標準Reeb空間と一致する。