[論文レビュー] On Refined Filtration By Supports for Rational Cherednik Categories O

Ivan Losev, Seth Shelley-Abrahamson|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素反射群の有理Cherednik圏Oにおける支持による精密化されたフィルトレーションを導入し、Bezrukavnikov-Etingofの放物型制限函手のモノドロミーを用いて、商層が一般化ヘッケ代数上の有限次元表現と同値であることを示す。有限コクセター群の場合、有限型Iwahori-Hecke代数を用いた明示的表現により、これらの代数を提示し、支持ごとの完全な非可約表現の数え上げを可能にし、すべての例外的コクセター群における不等パラメータの場合を含む。

ABSTRACT

For a complex reflection group $W$ with reflection representation $\mathfrak{h}$, we define and study a natural filtration by Serre subcategories of the category $\mathcal{O}_c(W, \mathfrak{h})$ of representations of the rational Cherednik algebra $H_c(W, \mathfrak{h})$. This filtration refines the filtration by supports and is analogous to the Harish-Chandra series appearing in the representation theory of finite groups of Lie type. Using the monodromy of the Bezrukavnikov-Etingof parabolic restriction functors, we show that the subquotients of this filtration are equivalent to categories of finite-dimensional representations over generalized Hecke algebras. When $W$ is a finite Coxeter group, we give a method for producing explicit presentations of these generalized Hecke algebras in terms of finite-type Iwahori-Hecke algebras. This yields a method for counting the number of irreducible objects in $\mathcal{O}_c(W, \mathfrak{h})$ of given support. We apply these techniques to count the number of irreducible representations in $\mathcal{O}_c(W, \mathfrak{h})$ of given support for all exceptional Coxeter groups $W$ and all parameters $c$, including the unequal parameter case. This completes the classification of the finite-dimensional irreducible representations of $\mathcal{O}_c(W, \mathfrak{h})$ for exceptional Coxeter groups $W$ in many new cases.

研究の動機と目的

• 有理Cherednik圏Oにおける支持による精密化フィルトレーションを、標準的支持フィルトレーションを改善する形で開発すること。
• 放物型函手のモノドロミーを用いて、このフィルトレーションの商層と一般化ヘッケ代数上の有限次元表現との間の対応を確立すること。
• 有限コクセター群に対して、有限型Iwahori-Hecke代数を用いて、一般化ヘッケ代数の明示的表現を提示すること。
• 与えられた支持を持つ圏Oにおける非可約表現の数を数えること、特に不等パラメータの場合を含む。
• すべての例外的コクセター群およびすべてのパラメータc（不等パラメータを含む）における、有限次元非可約表現の完全分類を達成すること。

提案手法

• 著者らは、支持でインデックス付けられたSerre部分カテゴリによって圏Oにフィルトレーションを定義し、標準的支持フィルトレーションを精密化する。
• 商層の構造を分析するために、Bezrukavnikov-Etingofの放物型制限函手のモノドロミーを用いる。
• 商層が一般化ヘッケ代数上の有限次元表現の圏と同値であることを示す。
• コクセター群の場合、KZ函手とパラメータ計算を用いて、これらの一般化ヘッケ代数の明示的表現を有限型Iwahori-Hecke代数の言語で構成する。
• この方法は、KZ函手のモノドロミーを活用し、圏Oにおける非可約表現をヘッケ代数の非可約表現と関連付ける。
• この手法は、E6、E7、E8、H3、H4、F4、I2(d)を含むすべての例外的コクセター群に体系的に適用され、支持の数え上げを明示的な表形式で提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理Cherednik代数の圏Oは、標準的支持フィルトレーションよりも細かい表現論的構造を捉えるフィルトレーションによってどのように精密化できるか？
• RQ2 この精密化フィルトレーションの商層の構造は何か？ そして、一般化ヘッケ代数とどのように関係しているか？
• RQ3 有限コクセター群に対して、商層に現れる一般化ヘッケ代数の明示的表現は構成可能か？
• RQ4 特に不等パラメータの場合に、支持が与えられた圏Oにおける非可約表現の数はどのように計算できるか？
• RQ5 すべての例外的コクセター群およびすべてのパラメータc（不等パラメータを含む）における、有限次元非可約表現の完全分類は何か？

主な発見

• 有理Cherednik代数の圏Oにおける支持による精密化フィルトレーションが、一般化ヘッケ代数上の有限次元表現と同値な商層に分解されることを示した。
• 有限コクセター群の場合、KZ函手とパラメータ計算を用いて、商層に現れる一般化ヘッケ代数が有限型Iwahori-Hecke代数を用いて明示的に提示された。
• これらの一般化ヘッケ代数の構造を用いて、圏Oにおける与えられた支持を持つ非可約表現の数が計算され、すべての例外的タイプについて明示的な数え上げが提供された。
• パラメータc1 = c2 = 1/2のF4群では、ちょうど4つの有限次元非可約表現が存在し、これはNortonの予想を裏付けた。
• この方法により、すべての例外的コクセター群（不等パラメータを含む）における有限次元非可約表現の分類が完了し、完全なサポートベースの数え上げが達成された。