[論文レビュー] The development version of the CHEVIE package of GAP3

Jean Michel|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Oct 29, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 32

ひとこと要約

本論文は、Coxeter群、Hecke代数、反射群、代数群（Kazhdan-Lusztig理論、単純な特徴、Spetsesを含む）を研究する包括的な計算システムであるGAP3用CHEVIEパッケージの開発版を提示する。ジェネリックプログラミングを用いた表現論および代数幾何学における高度な計算を可能にし、アフィンWeyl群、不等価パrameter Hecke代数、複素反射群のアルゴリズム的取り扱いにおける主な貢献を有する。

ABSTRACT

I describe the current state of the development version of the CHEVIE package, which deals with Coxeter groups, reductive algebraic groups, complex reflection groups, Hecke algebras, braid monoids, etc... Examples are given, showing the code to check some results of Lusztig.

研究の動機と目的

• 有限およびアフィンCoxeter群、Hecke代数、代数群の表現論における高度な計算をGAP3のCHEVIEパッケージに拡張すること。
• 不等価パrameter Hecke代数および一般Coxeter群におけるKazhdan-Lusztig基底および多項式のアルゴリズムを実装すること。
• 複素反射群、その巡回的Hecke代数、および関連するSpetses（単純な特徴およびグリーン関数を含む）に対する体系的なサポートを提供すること。
• 再帰的群における半単純および単純な共役類、中心化子、およびLusztigのフーリエ変換の計算を可能にすること。
• 1997年版に発表されたバージョンを越えて機能を拡張しつつ、GAP3のジェネリックプログラミングモデルとの後方互換性を維持すること。

提案手法

• 任意のCoxeter群に対して一様なコードを実現するため、FirstLeftDescendingおよびLeftDescentSetといったジェネリックプログラミングプリミティブを実装し、有限、アフィン、一般Coxeter群を網羅する。
• DeodharおよびSoergelの構成を用いて、不等価パrameter Hecke代数におけるKazhdan-Lusztig多項式および基底のアルゴリズムを開発した。
• 反射コセットおよび複素反射群への自己同型作用を導入し、分類およびキャラクターテーブル計算を支援した。
• 有限複素反射群の多項式不変量および表現の完全なリストを構築し、Malleとの共同作業で$G_{29}$および$G_{31}$–$G_{34}$の構成を含んだ。
• Garsideおよび局所Garsideモノイド構造（バターンおよび双対バターンモノイドを含む）を統合し、共役類および中心化子計算のためのアルゴリズムを提供した。
• 再帰的群およびSpetsesにおける単純な特徴、Lusztigの誘導、および${\rm\bf L}$関数の計算を可能にし、正および奇抜な特性において完全なサポートを提供した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不等価パrameter Hecke代数および一般Coxeter群におけるKazhdan-Lusztig理論を体系的にどのように拡張できるか？
• RQ2 複素反射群およびそのコセットの分類およびキャラクターテーブル計算を支援する計算フレームワークは何か？
• RQ3 任意の特性における再帰的群およびSpetsesにおける単純な特徴およびグリーン関数をアルゴリズム的にどのように計算できるか？
• RQ4 Garsideモノイドは、バターン群および反射群における共役類および中心化子の計算において果たす役割は何か？
• RQ5 CHEVIEパッケージは、1997年リリースを越えて機能を拡張しつつ、GAP3の型システムとの互換性をどのように維持できるか？

主な発見

• CHEVIEパッケージは、アフィンおよび一般タイプを含む任意のCoxeter群の不等価パrameter Hecke代数におけるKazhdan-Lusztig基底および多項式の計算をサポートしている。
• すべての有限Coxeter群および多くの複素反射群の巡回的Hecke代数について、完全なキャラクターテーブルおよび表現が利用可能であり、$G_{29}$については完全なキャラクターテーブル、$G_{31}$–$G_{34}$については部分的テーブルを含む。
• 再帰的群およびSpetsesにおける単純な特徴の計算が可能であり、$G_4$では$\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$における次数を有し、Lusztigのフーリエ変換および${\mathcal{L}}$関数も含まれる。
• $E_8$における単純な類のストラトムは計算され、Lusztigの予測と一致するが、$G_2$では特性依存の差異が観察された。
• 反射コセットおよび自己同型作用の実装により、ねじれ群（Ree群およびSuzuki群を含む）の体系的取り扱いが可能になった。
• 完全なフォーマット、TeXエクスポート、および代数的対象の体系的表示をサポートし、数学的文書作成および出版ワークフローへの統合を可能にした。