[論文レビュー] On regular CAT(0) cube complexes

Nir Lazarovich|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、与えられた有限なフラッグ単体複体 $L$ を頂点リンクとして持つ CAT(0) 3次元複体の一意性を保証する必要十分な組合せ的条件——スーパー・スター・トランジティビティ——を確立する。この条件のもとで、このような複体は超平面自己同型拡張性質（HAEP）を満たし、追加の条件下では自己同型群がほとんど単純であることを示し、木やビルディングに関する古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

We provide a necessary and sufficient condition on a finite flag simplicial complex, L, for which there exists a unique CAT(0) cube complex whose vertex links are all isomorphic to L. We then find new examples of such CAT(0) cube complexes and prove that their automorphism groups are virtually simple. The latter uses a result, which we prove in the appendix, about the simplicity of certain subgroups of the automorphism group of a rank-one CAT(0) cube complex. This result generalizes previous results by Tits and by Haglund and Paulin.

研究の動機と目的

• 固定された有限なフラッグ単体複体 $L$ を頂点リンクとして持つ CAT(0) 3次元複体が、同型を除いて一意に定まる条件を特定すること。
• そのような一意な複体の自己同型群を特徴づけ、特にその単純性の性質を明らかにすること。
• ティーツおよびハグルンド＝ポアリンの、ランク1の CAT(0) 3次元複体における自己同型群の単純性に関する結果を一般化すること。
• 一意な $L$-3次元複体において、超平面自己同型拡張性質（HAEP）を確立し、群論的解析を可能にする。

提案手法

• スーパー・スター・トランジティビティの概念を導入：$L$ の任意の2つの単体 $\sigma, \sigma'$ と、$\sigma$ を $\sigma'$ に写すリンク同型写像 $\phi: \text{st}_L(\sigma) \to \text{st}_L(\sigma')$ に対して、$\phi$ を拡張する $L$ 全体の自己同型 $\Phi$ が存在すること。
• 3次元複体の頂点に関する帰納的構成を用いて、$L$-3次元複体間の同型を構築し、スーパー・スター・トランジティビティ条件に依存させる。
• ダヴィス複体 $D(L)$ を $L$-3次元複体の標準的例として構成し、$L$ がスーパー・スター・トランジティビティであるときかつそのときに限り、これが一意なような複体であることを証明する。
• 超平面自己同型拡張性質（HAEP）を証明：互いに横断する有限個の超平面の自己同型は、全体の複体への自己同型に拡張可能である。
• ランク剛性定理と正規部分群解析（補題 A.8）を適用し、自己同型群の非自明な正規部分群が境界に非自明に作用し、非初等的であることを示す。
• HAEP と補遺（補遺の単純性結果）を用いて、適切な条件下で自己同型群がほとんど単純であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限なフラッグ単体複体 $L$ に対して、頂点リンクが $L$ に同型である CAT(0) 3次元複体が一意に存在するための組合せ的条件は何か？
• RQ2 すべての一意な $L$-3次元複体において、超平面自己同型拡張性質（HAEP）は成り立つか？ そしてそれは自己同型群にどのような意味を持つのか？
• RQ3 一意な $L$-3次元複体の自己同型群がいつほとんど単純になるか？ これは木やビルディングに関する既知の結果をどのように一般化するか？
• RQ4 スーパー・スター・トランジティビティは、$L$-3次元複体における一意性と群論的剛性の両方を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 ランク1の CAT(0) 3次元複体の自己同型群の正規部分群はどのように振る舞うか？ どのような条件下でそれらが非初等的かつ非自明になるか？

主な発見

• 有限なフラッグ単体複体 $L$ が、頂点リンクが $L$ に同型である CAT(0) 3次元複体を一意に持つための必要十分条件は、$L$ がスーパー・スター・トランジティビティであることである。
• ケネザー複体 $K_n^d$ は、任意の次元における一意な CAT(0) $L$-3次元複体の新しい族を提供する。
• 任意の一意な $L$-3次元複体において、互いに横断する有限個の超平面の任意の自己同型は、全体の複体への自己同型に拡張可能である（HAEP）。
• 一意な $L$-3次元複体の自己同型群は、複体がランク1であり、リンク $L$ が補遺の条件を満たす場合、ほとんど単純である。
• 補遺では一般の単純性結果を証明している：ある適切な CAT(0) 空間 $X$ に対して、$G^+$ が非初等的で、ランク1の等距変換を含み、$N \triangleleft G^+$ が $\partial X$ に非自明に作用するならば、$N$ は非初等的であり、$\Lambda(N) = \partial X$ が成り立ち、適切な条件下で $\text{Aut}(X)$ がほとんど単純になる。
• この結果は、ティーツおよびハグルンド＝ポアリンの、CAT(0) 3次元複体の自己同型群における半空間固定群の単純性に関する定理を一般化する。