[論文レビュー] Problems on automorphism groups of nonpositively curved polyhedral complexes and their lattices

Benson Farb, G. Christopher Hruska+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 86被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、非正曲率の多面体複体およびその格子の自己同型群に関する一連の未解決問題を提示し、特に積の形をとらない2次元複体に焦点を当てる。これらの群の構造的・幾何的・力学的性質を検討し、古典的代数群や木の格子との類似性を示唆する。主な貢献として、CAT(0)および系統的複体における一様格子への双自動性結果の拡張がなされている。

ABSTRACT

The goal of this paper is to present a number of problems about automorphism groups of nonpositively curved polyhedral complexes and their lattices, meant to highlight possible directions for future research.

研究の動機と目的

• 代数群や木の格子における格子理論を、高ランクの非正曲率多面体複体へと拡張すること。
• 特に次元2におけるCAT(0)および系統的複体の自己同型群の構造と力学的性質を理解すること。
• 線形的および双曲的設定で知られている双自動性、有限性、剛性といった性質が、より一般の幾何的群論的文脈へと拡張されるかどうかを調査すること。
• 非積型で非正曲率の複体の格子を解析するために必要な、新たな現象や技術を同定すること。
• 古典的状況を超えた幾何的群論における新たな挑戦と方向性を強調する研究計画を提示すること。

提案手法

• 基本領域における頂点の安定化部分群を含む組合せ的体積公式を用いて格子の性質を分析する。
• 語長距離、力学的性質、CAT(0)および系統的複体への作用を含む、幾何的群論の技術を適応する。
• Gersten–Short、Niblo–Reeves、Januszkiewicz–Świ{ą}tkowskiの結果を、特定のクラスの複体における双自動性に応用する。
• 建物の理論、Kac–Moody群、複体の群の理論を活用して、ランク1およびランク2の設定から得られた既知の結果を一般化する。
• 共役性および塔構成を用いて、与えられた群における格子の漸近的成長を研究する。
• 相対的双曲性および孤立した平坦部の技術を用いて、建物およびDavis–Moussong複体における格子への双自動性結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正曲率多面体複体の自己同型群が非離散的または単純であるのはどのような条件下か？
• RQ2 線形群の性質—剛性、語長距離幾何、力学的性質—が、非正曲率複体の自己同型群へとどの程度拡張可能か？
• RQ3 CAT(0) 2次元複体上で真にかつコンパクトに作用するすべての一様格子は双自動的か？
• RQ4 与えられた有限指数をもつ格子の数の漸近的挙動はいかほどか？ すなわち、固定された一様格子を含む指数$n$の格子の数は？
• RQ5 複体の自己同型群が格子の塔をもつのはどのような場合か？ そしてこれは格子空間の構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• CAT(0)正方形複体、三角形-正方形複体、およびユークリッド的建物における一様格子は、Gersten–Shortの結果およびその後の研究者による拡張により双自動的である。
• 有限生成の右側アングルコクサター群およびアートン群、およびCAT(0)立方体複体における一様格子は、Niblo–Reevesにより双自動的である。
• 系統的単体複体上で作用する一様格子（系統的群）は、Januszkiewicz–Świ{ą}tkowskiにより双自動的である。
• 孤立した平坦部をもつコクサター群の関連建物における一様格子は、CapraceおよびŚwi{ą}tkowskiにより双自動的である。
• 固定された一様格子を含む指数$n$の格子の数を表す$u_Γ(n)$は有限であり、上界が存在する。右側アングル建物では下界も存在する。
• 局所体上の高ランク代数的群では、$n$が十分に大きいと$u_Γ(n) = 0$となる。これは、塔を許容する建物とは明確な対比を示す。