[論文レビュー] On Regularised Quantum Dimensions of the Singlet Vertex Operator Algebra and False Theta Functions

Thomas Creutzig, Antun Milas+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 48被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、複素パラメータ 𝜖 を用いた正則化手続きにより、非 C2-コファイントなシングレット頂点 operator 代数における量子次元を導入し、それらを偽 theta 関数および量子モジュラー形式と関連付ける。𝜖 を用いた特徴関数の変形とそのモジュラー変換性の解析により、著者らは Re(𝜖) > 0 のとき正則化量子次元が環同型を与えることを示し、Re(𝜖) < 0 のとき有理的 VOA の融合環を回復する。また、ベクトル値量子モジュラー形式がモジュラーテンソルカテゴリの構造定数を記述する。

ABSTRACT

We study a family of non-C2-cofinite vertex operator algebras, called the singlet vertex operator algebras, and connect several important concepts in the theory of vertex operator algebras, quantum modular forms, and modular tensor categories. More precisely, starting from explicit formulae for characters of modules over the singlet vertex operator algebra, which can be expressed in terms of false theta functions and their derivatives, we first deform these characters by using a complex parameter {\epsilon}. We then apply modular trans- formation properties of regularised partial theta functions to study asymptotic behaviour of regularised characters of irreducible modules and compute their regularised quantum dimensions. We also give a purely geometric description of the regularisation parameter as a uniformisation parameter of the fusion variety coming from atypical blocks. It turns out that the quantum dimensions behave very differently depending on the sign of the real part of {\epsilon}. The map from the space of characters equipped with the Verlinde product to the space of regularised quantum dimensions turns out to be a genuine ring isomorphism for positive real part of {\epsilon} while for sufficiently negative real part of {\epsilon} its surjective image gives the fusion ring of a rational vertex operator algebra. The category of modules of this rational vertex operator algebra should be viewed as obtained through the process of a semi-simplification procedure widely used in the theory of quantum groups. Interestingly, the modular tensor category structure constants of this vertex operator algebra, can be also detected from vector valued quantum modular forms formed by distinguished atypical characters.

研究の動機と目的

• 非 C2-コファイントな頂点 operator 代数、特にシングレット VOA における特徴関数の漸近的挙動を理解すること。
• 複素変形パラメータ 𝜖 を用いて、シングレット VOA の既約モジュールに対する正則化量子次元を定義し、計算すること。
• 特異ブロックから生じる融合多様体の均質化パラメータとしての正則化パラメータ 𝜖 の幾何的解釈を提供すること。
• Re(𝜖) の符号に応じて、ヴェルリンデ積構造が正則化量子次元へどのように写像されるかを特定すること。
• 有理的 VOA のモジュラーテンソルカテゴリの構造定数を、特異的特徴関数から構成されるベクトル値量子モジュラー形式と関連付けること。

提案手法

• 複素パラメータ 𝜖 を用いて、シングレット VOA の特徴関数を変形し、正則化された特徴関数を定義する。
• 正則化された部分 theta 関数のモジュラー変換性を適用し、𝑞 → 0 のときのこれらの正則化特徴関数の漸近的挙動を研究する。
• Eichler 積分構成と非正則的 Eichler 積分を用いて、上半平面および下半平面における正則関数の解析接続を、正則的特徴関数と関連付ける。
• 特異的特徴関数からベクトル値量子モジュラー形式を構成し、SL(2, ℤ) における変換法則を導出する。
• 積分核を通じて、(p+, p−)-最小模型の S 行列を、これらの量子モジュラー形式の変換と関連付ける。
• Re(𝜖) > 0 のとき、ヴェルリンデ積空間から正則化量子次元への写像が環同型であることを証明し、Re(𝜖) < 0 のとき、その像が有理的頂点 operator 代数の融合環上に全射であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素変形 𝜖 によるシングレット VOA の既約モジュールに対する正則化量子次元の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ2 正則化パラメータ 𝜖 は、特異的ブロックから生じる融合多様体の観点で、幾何的にどのような意味を持つのか？
• RQ3 ヴェルリンデ積から正則化量子次元への写像は、環構造を保存するか。もしそうならば、𝜖 にどのような条件下で成立するか？
• RQ4 有理的 VOA のモジュラーテンソルカテゴリの構造定数は、特異的特徴関数から構成されるベクトル値量子モジュラー形式から回復可能か？
• RQ5 偽 theta 関数およびその微分のモジュラー変換性は、最小模型の S 行列とどのように関係するか？

主な発見

• Re(𝜖) > 0 のとき、ヴェルリンデ積空間から正則化量子次元への写像は真の環同型である。
• 十分に負の Re(𝜖) のとき、ヴェルリンデ積写像の像は、有理的頂点 operator 代数の融合環上に全射である。
• 正則化パラメータ 𝜖 は、特異的ブロックから生じる融合多様体の均質化パラメータとして幾何的に対応する。
• (p+, p−)-最小模型の S 行列は、特異的特徴関数から構成されるベクトル値量子モジュラー形式の変換法則に埋め込まれている。
• ベクトル値量子モジュラー形式 G(w) の成分は、S 行列と補正項 g(w) を含む変換法則を満たし、G(w) は H ∪ H 上で正則で、R 上で滑らかである。
• 量子モジュラー形式 F(τ) と G(τ) は、有理点における径方向極限がそれぞれ Eichler 積分の対応物と一致することを示し、それらの量子モジュラー性を裏付けた。