[論文レビュー] On Repeated-Root Constacyclic Codes of Length $2^amp^r$ over Finite Fields

Aicha Batoul, Kenza Guenda+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$a \geq 1$、$m$ が奇数、$(m,p)=1$ であるとき、$\mathbb{F}_{p^s}$ 上の長さ $2^a m p^r$ の反復根をもつ $\lambda$-循環コードの生成多項式を特徴づける。自己双対な反循環コードの存在条件を確立し、$q \equiv 1 \pmod{2^{a+1}}$ の下で、この長さの反循環コードが単項同値に巡回コードであることを証明する。これは、反復根をもつ合成長の循環コードに関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we investigate the structure of repeated root constacyclic codes of length $2^amp^r$ over $\mathbb{F}_{p^s}$ with $a\geq1$ and $(m,p)=1$. We characterize the codes in terms of their generator polynomials. This provides simple conditions on the existence of self-dual negacyclic codes. Further, we gave cases where the constacyclic codes are equivalent to cyclic codes.

研究の動機と目的

• 長さ $2^t p^r$ および $l p^r$ の循環コードに関する先行結果を、$a \geq 1$ かつ $m$ が $p$ と互いに素な奇数である $\mathbb{F}_{p^s}$ 上の長さ $2^a m p^r$ のコードへ一般化すること。
• 長さ $m$ のコードの構造を用いて、長さ $mp^r$ の $\lambda$-循環コードの生成多項式を特徴づけ、体系的な構成を可能にする。
• 反復根をもつ循環コードが単項同値に巡回コードである条件を特定すること、特に反循環コードに対して。
• 奇数 $p$ に対して、$\mathbb{F}_{p^s}$ 上の長さ $2^a m p^r$ の自己双対反循環コードが存在するための必要十分条件を確立すること。
• 特に反循環構造の文脈において、自己双対コードの理論を反復根をもつ $\lambda$-循環コードのより広いクラスへ拡張すること。

提案手法

• constacyclicコードをイデアルとして表現するために、$\mathbb{F}_{q}[x]/\langle x^n - \lambda \rangle$ と多項式剰余環の環同型を用いる。
• $x^n - \lambda$ の因数分解と生成多項式の導出のため、$\mathbb{F}_{q}$ 上の $q$-巡回コセットと最小多項式を適用する。
• $q \equiv 1 \pmod{2^{a+1}}$ の下で $\mathbb{F}_q^*$ に原始 $2^{a+1}$ 乗根が存在することを活用し、反循環コード環と巡回コード環の間の環同型を構成する。
• $x^m + 1$ と $x^m - 1$ を $\mathbb{F}_{p^s}$ 上の既約因数に分解し、自己双対性と双対性の解析のため、自己双対および双対ペアに分類する。
• 反循環コードの双対性条件 $A(x) = B^*(x)$ を用い、既約因数の構造を通じて自己双対性の条件を導出する。
• 補題 5.6 を用い、$\text{ord}_m(p^s)$ の偶奇性と自己双対最小多項式の存在を結びつけることで、自己双対コードの存在を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数 $p$ かつ $a \geq 1$ の下で、$\mathbb{F}_{p^s}$ 上の長さ $2^a m p^r$ の自己双対反循環コードが存在する条件は何か？
• RQ2 $\mathbb{F}_{p^s}$ 上の長さ $2^a m p^r$ の反循環コードがいつ単項同値に巡回コードであるか？
• RQ3 $\lambda$-循環コードの長さ $2^a m p^r$ の生成多項式は、長さ $m$ のコードの生成多項式からどのように明示的に構成できるか？
• RQ4 $q$-巡回コセットと自己双対な既約因数は、反復根をもつ循環コードの構造を特定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $\text{ord}_m(p^s)$ とこの拡張された長さクラスにおける自己双対反循環コードの存在との関係は何か？

主な発見

• 長さ $2^a m p^r$ の反循環コードが $\mathbb{F}_{p^s}$ 上で単項同値に巡回コードであるのは、$q \equiv 1 \pmod{2^{a+1}}$ のときであり、これは $\mathbb{F}_q^*$ に原始 $2^{a+1}$ 乗根が存在するためである。
• 奇数 $p$ に対して、$\mathbb{F}_{p^s}$ 上の長さ $2^a m p^r$ の自己双対反循環コードが存在するのは、$\text{ord}_m(p^s)$ が奇数であるときであり、これは $x^m - 1$ の因数分解に自己双対な既約因数が存在しないことを保証する。
• 長さ $2^a m p^r$ の反循環コードの生成多項式は、$\prod_{k=1}^{2^a} \left( \prod_{i=0}^{l} f_i^{j_i}(\alpha^{-2k+1}x) \right)$ の形をとり、ここで $f_i(x)$ は $x^m - 1$ の首項既約因数であり、$\alpha$ は原始 $2^{a+1}$ 乗根である。
• 自己双対反循環コードの存在は、$x^m + 1$ の因数分解に自己双対な既約因数が存在しないことと同値であり、これは $\text{ord}_m(p^s)$ の偶奇性によって決まる。
• 例：$\mathbb{F}_5$ 上では長さ 70 の自己双対反循環コードは存在しないが、$\mathbb{F}_9$ 上では長さ 126 のものが存在する。これは $\text{ord}_m(p^s)$ に依存することを示している。