[論文レビュー] On rigid syntomic cohomology with compact support

Bruno Chiarellotto, Alice Ciccioni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、混合特徴値 (0, p) の完備離散付値環 R 上の滑らかな R-スキームのための、コンパクトな台付きの剛体シントミックコホモロジーを導入し、カップ積とギジン準同型の存在を確立する。さらに、シントミックサイクル類を用いて、ブロッハの高次チャウ群をシントミックコホモロジーへ結びつける新しいシントミックレジスタを定義する。

ABSTRACT

Let R be a complete discrete valuation ring of mixed characteristic (0; p). For any smooth algebraic R-scheme X we define rigid syntomic cohomology with compact support H n; c (X; i). The definition of rigid syntomic cohomology has been given previ ously by A. Besser. We then prove the existence of a cup product and a Gysin morphism in this setting. As an application of our constructions we give a new definition of a syntomic regulator reg syn : CH i (X; 2i− n)! H n (X; i), by means of a syntomic cycle class. The groups CH i (X; 2i− n) are the Bloch higher Chow groups.

研究の動機と目的

• 混合特徴値 (0, p) の完備離散付値環上の滑らかな代数的 R-スキームのための、コンパクトな台付きの剛体シントミックコホモロジーを定義すること。
• このコホモロジー的枠組みにおいて、カップ積およびギジン準同型の存在を確立すること。
• シントミックサイクル類を用いて、新しいシントミックレジスタを定義すること。
• ブロッハの高次チャウ群 CH^i(X; 2i−n) をシントミックコホモロジー H^n_c(X; i) へ関連付けること。

提案手法

• A. ベッサーによる剛体シントミックコホモロジーの先行定義を基盤として用いる。
• 双対性または局所化の構成を用いて、理論をコンパクトな台付きへ拡張する。
• シントミック複体の導来圏におけるヤネダ対応を用いてカップ積を構成する。
• 法線被覆への変形および剛体コホモロジーにおける双対性を用いてギジン準同型を定義する。
• レジスタを定義するための主要な幾何的対象として、シントミックサイクル類を導入する。
• サイクル類を用いてレジスタ写像 reg_syn: CH^i(X; 2i−n) → H^n_c(X; i) を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合特徴値における剛体シントミックコホモロジーを、コンパクトな台付きへどのように拡張できるか。
• RQ2 このコホモロジー理論におけるカップ積およびギジン準同型の構造的性質は何か。
• RQ3 シントミックサイクル類を用いて新しいレジスタ写像を定義できるか。
• RQ4 新しいレジスタはブロッハの高次チャウ群とどのように関係するか。
• RQ5 この文脈において、シントミックサイクル類の幾何的およびコホモロジカル的意味は何か。

主な発見

• 混合特徴値 (0, p) の完備離散付値環上の滑らかな R-スキームに対して、剛体シントミックコホモロジー H^n_c(X; i) がコンパクトな台付きとして適切に定義される。
• このコホモロジー理論におけるカップ積の存在が確立され、乗法的構造が可能になる。
• ギジン準同型が構成され、閉埋め込みに沿った押し出し写像を含む理論が拡張される。
• シントミックサイクル類を用いて、新しいシントミックレジスタ reg_syn: CH^i(X; 2i−n) → H^n_c(X; i) が定義される。
• レジスタ写像は、シントミックコホモロジーにおける高次チャウサイクルのコホモロジカル実現を提供する。
• この構成は、剛体シントミック手法を用いて代数的サイクルの算術的性質を研究する新たな道筋を提供する。