[論文レビュー] Topological Hochschild homology and integral $p$-adic Hodge theory

Bhargav Bhatt, Matthew Morrow+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、混合特徴値および特徴値 $p$ の等特徴値において、代数的K理論のモチビックフィルトレーションに類似した、トポロジカルホッフマンホモロジー（THH）におけるフィルトレーションを導入する。平坦下降を用いて半完備的環へ応用することで、このフィルトレーションの各項が混合特徴値において $A\widetilde{\bigwedge\bigwedge\bigwedge}$-複体に、等特徴値 $p$ においてはクリスタリンコホモロジーに同型であることが示され、Breuil–Kisinモジュールおよび $\mathbb{Z}_p(n)$ シャーブのコホモロジカル構成が可能となり、$A_{\inf}$-コホモロジーを精錬し、$p$-進ホッジ理論の枠組みを統一する。

ABSTRACT

In mixed characteristic and in equal characteristic $p$ we define a filtration on topological Hochschild homology and its variants. This filtration is an analogue of the filtration of algebraic $K$-theory by motivic cohomology. Its graded pieces are related in mixed characteristic to the complex $AΩ$ constructed in our previous work, and in equal characteristic $p$ to crystalline cohomology. Our construction of the filtration on $\mathrm{THH}$ is via flat descent to semiperfectoid rings. As one application, we refine the construction of the $AΩ$-complex by giving a cohomological construction of Breuil--Kisin modules for proper smooth formal schemes over $\mathcal O_K$, where $K$ is a discretely valued extension of $\mathbb Q_p$ with perfect residue field. As another application, we define syntomic sheaves $\mathbb Z_p(n)$ for all $n\geq 0$ on a large class of $\mathbb Z_p$-algebras, and identify them in terms of $p$-adic nearby cycles in mixed characteristic, and in terms of logarithmic de~Rham-Witt sheaves in equal characteristic $p$.

研究の動機と目的

• 混合特徴値および等特徴値 $p$ におけるトポロジカルホッフマンホモロジー（THH）に、代数的K理論におけるモチビックフィルトレーションに類似したフィルトレーションを定義すること。
• $\mathcal{O}_K$ 上の正則で滑らかな形式的スキームに対して、Breuil–Kisinモジュールのコホモロジカル構成を $A_{\inf}$-コホモロジー理論 [BMS18] を精錬することで確立すること。
• $\mathbb{Z}_p$-代数上に $n \geq 0$ に対してシンタミックシャーブ $\mathbb{Z}_p(n)$ を定義し、混合特徴値では $p$-進近傍サイクルを介して、等特徴値 $p$ では対数的デラーム＝ワットシャーブと同定すること。
• $A_{\inf}$-コホモロジーをTHH、TC、および他の $p$-進コホモロジー理論と結びつける、自然かつ関手的な枠組みを通じて、$p$-進ホッジ理論を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• フィルトレーションは、準射影的環への平坦下降を用いて構成され、準シンタミックサイトおよび余接複体の性質が利用される。
• フィルトレーションの各項が、混合特徴値において $A\Omega$-複体に、等特徴値 $p$ においてはクリスタリンコホモロジーに同型であることが示される。
• Nygaardフィルトレーションを $\mathrm{THH}$ に用い、Frobeniusを介して $E$-adicフィルトレーションと関連づけ、$\mathcal{N}^{\geq \star}\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}^{(-1)}} \to (E)^\star \otimes \widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$ というフィルター付き写像を構成する。
• Frobenius写像 $\varphi: \varphi^*\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}} \to \widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$ が $L\eta_E\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$ を通して因数分解されることを示し、Nygaardフィルトレーションと $E$-adicフィルトレーションを結びつける。
• 基底変換 $\mathcal{O}_C$ を用いて理論をグローバル化し、スカラー拡張により de Rham、エタール、クリスタリンコホモロジーを回復可能とする。
• 主な技術的道具は、$A_{\inf}$-コホモロジー、$p$-進近傍サイクルファンクター、および $\widehat{\mathbbl{\Delta}}$ を通じたプリズマティックコホモロジー理論である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合特徴値および等特徴値 $p$ におけるトポロジカルホッフマンホモロジーに、モチビック型のフィルトレーションをどのように定義できるか。
• RQ2 $A_{\inf}$-コホモロジー理論をBreuil–Kisinモジュール値のコホモロジー理論に精錬でき、標準的な $p$-進コホモロジー理論を回復できるか。
• RQ3 シンタミックシャーブ $\mathbb{Z}_p(n)$ と混合特徴値における $p$-進近傍サイクルとの関係は何か。また、等特徴値 $p$ における対数的デラーム＝ワットシャーブとどのように関係するか。
• RQ4 NygaardフィルトレーションがFrobeniusに沿って降下するか。そうでない場合、Frobeniusを介して $E$-adicフィルトレーションとどのように関係づけられるか。

主な発見

• THHにおけるフィルトレーションは、半完備的環への平坦下降を用いて構成され、自然かつ関手的なフィルトレーションが得られ、その各項は混合特徴値において $A\Omega$-複体に同型である。
• $R\Gamma_{\mathfrak{S}}(\mathfrak{X})$ はBreuil–Kisinモジュールの $\mathfrak{S}$-線形複体として定義され、$A_{\inf}$-コホモロジーを回復し、すべての標準的 $p$-進ホッジ的性質を満たす。
• $A_{\inf}$-コホモロジー複体 $R\Gamma_{A_{\inf}}(\mathfrak{X}_{\mathcal{O}_C})$ は、$A_{\inf}$-加群の完全複体であることが示され、Frobenius自己準同型 $\varphi$ は $\xi$ または $\tilde{\xi}$ を逆元にとると同型となる。
• $A_{\inf} \to \mathcal{O}_C$ 沿いのスカラー拡張により、$A_{\inf}$-コホモロジーは de Rham コホモロジー $R\Gamma_{\mathrm{dR}}(\mathfrak{X}_{\mathcal{O}_C}/\mathcal{O}_C)$ を回復し、$\mu$ を逆元にとると、$A_{\inf}[1/\mu]$-係数のエタールコホモロジーを回復する。
• 理論により、シンタミックシャーブ $\mathbb{Z}_p(n)$ が混合特徴値における $p$-進近傍サイクルと、等特徴値 $p$ における対数的デラーム＝ワットシャーブと同定され、統一的な構成が可能となる。
• Frobenius写像 $\varphi: \varphi^*\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}} \to \widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$ が $L\eta_E\widehat{\mathbbl{\Delta}}_{A/\mathfrak{S}}$ を通して因数分解されることを示し、Nygaardフィルトレーションと $E$-adicフィルトレーションを結ぶフィルター付き同型が確立される。