[論文レビュー] On Robust Utility Maximization

Traian A. Pirvu, Ulrich G. Haussmann|ArXiv.org|Feb 24, 2007

Risk and Portfolio Optimization参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動フレームワークにおける不完全市場において、停止時刻としての投資期間に起因する時間的一致性の欠如を是正するため、投資家の資産に補正項を導入することで、ロバストな効用最大化を実現する。対数でない効用関数の場合、補正項は保険料と消費に分解可能であり、確率的終了時刻下でも戦略の不変性を保証する。補正項はクラーク＝オウセイン＝オコーンの公式と双対性手法により明示的に特徴付けられる。

ABSTRACT

This paper studies the problem of optimal investment in incomplete markets, robust with respect to stopping times. We work on a Brownian motion framework and the stopping times are adapted to the Brownian filtration. Robustness can only be achieved for logartihmic utility, otherwise a cashflow should be added to the investor s wealth. The cashflow can be decomposed into the sum of an increasing and a decreasing process. The last one can be viewed as consumption. The first one is an insurance premium the agent has to pay.

研究の動機と目的

• 投資期間が固定日ではなく停止時刻である場合の最適投資戦略における時間的一致性の問題を解消すること。
• 修正なしでは唯一対数効用関数でのみ戦略が時間的一致性を保つという既存の結果を、対数効用関数を超えてロバスト性を拡張すること。
• 一般の効用関数に対して、資産に加算することで時間的一致性を回復する補正項プロセスを特徴付けること。
• 補正項がどのように財源を調達できるかを示し、特にそれが消費流としてまたは保険料として機能する条件を特定すること。
• ブラウンフィルトレーションにおける確率的計算と双対性技術を用いて、補正項の一意性と明示的表現を確立すること。

提案手法

• 停止時刻が適応的であるブラウン運動駆動市場モデルを用いて、確率的投資期間をモデル化する。
• 双対性手法と最小マルティンゲール測度を用い、動的最適化問題を静的問題に変換する。
• 補正項プロセス $ V_x(t) $ を導入し、増加（保険料）および減少（消費）成分に分解する。
• クラーク＝オウセイン＝オコーンの公式を用いて、補正項を表すプロセス $ \beta(t) $ を明示的に計算する。
• 限界効用関数 $ I(\cdot) $ の逆関数と双対変数 $ \mathcal{Y}_t(x) $ を用いて、最適資産プロセスを特徴付ける。
• 最小マルティンゲール測度下での資産プロセスのマルティンゲール性を活用し、最適性の必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対数効用関数に対して、最適投資戦略が停止時刻に対してロバストであるための条件は何か？
• RQ2 確率的終了時刻下で時間的一致性を回復させるための補正項は、どのように構築できるか？
• RQ3 補正項の経済的解釈は何か？実務的にはどのように財源を調達できるか？
• RQ4 相対的危険回避度の係数と慎重性係数が、補正項の符号と構造に与える影響は何か？
• RQ5 補正項は明示的に計算可能か？また、有限変動過程であるための条件は何か？

主な発見

• 非対数効用関数に対しては、補正項がなければ最適投資戦略のロバスト性は達成できない。補正項がなければ、対数効用関数以外では時間的一致性は保証されない。
• 補正項 $ V_x(t) $ は有限変動過程であり、増加過程（保険料）と減少過程（消費）に分解可能である。
• 慎重性係数が相対的危険回避度の2倍未満の場合、補正項は負となり、投資家がその分を消費可能であることを示唆する。
• 最適戦略が時間的一致性を有するのは、双対変数 $ \mathcal{Y}_t(x) $ が時間的に一定である場合に限る。これは補正項に特定の条件が課された場合にのみ成立する。
• 補正項 $ \beta(t) $ はクラーク＝オウセイン＝オコーンの公式を用いて明示的に計算可能であり、実用的な表現を提供する。
• 効用関数の凹性と双対性の議論を用いて、最適資産プロセスの一意性が確立される。