[論文レビュー] On self-dual four circulant codes

Minjia Shi, Hongwei Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限体上の自己双対四重巡回符号について、巡回行列の代数的構造と $x^n - 1$ の因数分解を活用して、$x^n - 1$ が正確に二つの既約因子に分解される場合の列挙式を導出する。アーティンの原始根予想とエントロピーに基づく体積推定を用いて、相対最小距離 $ \delta$ が $H_q( \delta) \geq \frac{1}{8}$ を満たす無限族の存在を証明し、ギルバート＝ヴァルシャモフ境界に類似した新たな漸近的下界を確立する。

ABSTRACT

Four circulant codes form a special class of $2$-generator, index $4$, quasi-cyclic codes. Under some conditions on their generator matrices they can be shown to be self-dual. Artin primitive root conjecture shows the existence of an infinite subclass of these codes satisfying a modified Gilbert-Varshamov bound.

研究の動機と目的

• 有限体上の自己双対四重巡回符号の代数的構造を、環 $R(n,\mathbb{F}_q) = \mathbb{F}_q[x]/\langle x^n - 1 \rangle$ を用いて分析すること。
• $x^n - 1$ が $\mathbb{F}_q$ 上で正確に二つの既約多項式に因数分解される場合の自己双対四重巡回符号の列挙式を導出すること。
• このような符号の最小距離に対する漸近的下界を、ギルバート＝ヴァルシャモフ境界に類似した形で確立すること。
• 数論的仮定の下で、良好な相対距離を持つ自己双対四重巡回符号の無限族の存在を調査すること。

提案手法

• 四重巡回符号を、二つの生成子 $((1,0,a(x),b(x)),(0,1,-b'(x),a'(x)))$ で生成される $R(n,\mathbb{F}_q)$-部分加群として表現すること。
• 中国剰余定理を適用し、$x^n - 1$ に少ない既約因子しか持たない場合に $R(n,\mathbb{F}_q)$ を有限体の積に分解すること。
• 自己双対四重巡回符号を巡回行列 $A, B$ を用いて特徴付けるために、条件 $AA^T + BB^T + I_n = 0$ を用いること。
• 体積推定に基づくエントロピーを用いて、$x^n - 1$ を法とする多項式合同式の解の数を上限で評価し、自己双対符号の数を推定すること。
• アーティンの原始根予想を活用し、$q$ が $n$ を法として原始根であるような素数 $n$ が無限に存在することを保証し、符号の無限族の構成を可能にすること。
• $q$ 進エントロピー関数 $H_q(t)$ を用いてハミング球の体積を推定し、最小距離に対する漸近的下界を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $x^n - 1$ が $\mathbb{F}_q$ 上でどのような因数分解を示す場合に、自己双対四重巡回符号を列挙できるか。
• RQ2 良好な相対最小距離を持つ自己双対四重巡回符号の無限族を構成できるか。
• RQ3 アーティンの原始根予想は、このような符号の存在をどのように支援するか。
• RQ4 $q$ 進エントロピー関数を用いた場合、自己双対四重巡回符号の最小距離に対する漸近的下界はどのように表されるか。
• RQ5 二つの既約因子に分解される場合に限らず、列挙および距離の下界が一般化可能か。

主な発見

• $x^n - 1$ が $\mathbb{F}_q$ 上で正確に二つの既約多項式に分解される場合、中国剰余定理による分解を用いて、自己双対四重巡回符号の明示的な列挙式が導出される。
• 与えられた因数分解条件の下で、自己双対四重巡回符号の総数は漸近的に $O(q^{3n/2})$ である。
• 重み $\sim 4\delta n$ の固定されたベクトルを含むような符号の数は、指数的でない項を除いて $O(q^{n(1 + 4H_q(\delta))})$ で上界が与えられる。
• ハミング球の体積と自己双対符号の総数を比較することで、相対最小距離 $\delta$ が $H_q(\delta) \geq \frac{1}{8}$ を満たす無限族の自己双対四重巡回符号の存在が証明される。
• この結果はアーティンの原始根予想に依存しており、$q$ が $n$ を法として原始根であるような素数 $n$ が無限に存在することを保証する。
• 最小距離に対する漸近的下界は、除去された確率的符号化技術とエントロピーに基づく体積推定を用いて導出され、ギルバート＝ヴァルシャモフ境界に類似した新しい境界が得られる。