[論文レビュー] On self-similar sets with overlaps and inverse theorems for entropy in $\mathbb{R}^d$

Michael Hochman|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、$\rm{R}^d$ 内の自己相似集合および自己相似測度に対して、構造的二分法を確立する。具体的には、ハウスドルフ次元が自明な上界 $\min\{s,d\}$ に達するか、それとも定義される相似変換の $n$ 重合成が超指数的になめらかに近接するかのいずれかである。主な革新点は、$\rm{R}^d$ 上の畳み込みにおけるエントロピー増加に関する逆定理であり、次元の低下を、反復関数系（IFS）の線形部における幾何的集中と対称性と結びつける。

ABSTRACT

We study self-similar sets and measures on $\mathbb{R}^{d}$. Assuming that the defining iterated function system $Φ$ does not preserve a proper affine subspace, we show that one of the following holds: (1) the dimension is equal to the trivial bound (the minimum of $d$ and the similarity dimension $s$); (2) for all large $n$ there are $n$-fold compositions of maps from $Φ$ which are super-exponentially close in $n$; (3) there is a non-trivial linear subspace of $\mathbb{R}^{d}$ that is preserved by the linearization of $Φ$ and whose translates typically meet the set or measure in full dimension. In particular, when the linearization of $Φ$ acts irreducibly on $\mathbb{R}^{d}$, either the dimension is equal to $\min\{s,d\}$ or there are super-exponentially close $n$-fold compositions. We give a number of applications to algebraic systems, parametrized systems, and to some classical examples. The main ingredient in the proof is an inverse theorem for the entropy growth of convolutions of measures on $\mathbb{R}^{d}$, and the growth of entropy for the convolution of a measure on the orthogonal group with a measure on $\mathbb{R}^{d}$. More generally, this part of the paper applies to smooth actions of Lie groups on manifolds.

研究の動機と目的

• 重なりが生じる $\rm{R}^d$ 内の自己相似集合における次元パラドックスを解消すること、特に類似次元が自明な上界未満である場合に焦点を当てる。
• 従来 $\rm{R}$ でのみ知られていたエントロピー増加に関する逆定理を、高次元空間および群作用へと拡張すること。
• 自己相似測度の次元が類似次元未満に低下する状況を同定し、可約性や合成の超指数的接近といった構造的要因を特定すること。
• 線形作用が非可約である場合、次元の低下は $n$ 重合成が超指数的に近接することを示すこと。
• 古典的問題（ベルヌーイ畳み込み、シルパインスキーのギャスケット、パラメトリック族など）に理論を適用し、代数的条件および非可約性条件下で修正された予想が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 測度の $\rm{R}^d$ 上での畳み込みにおけるエントロピー増加に関する逆定理を構築し、低エントロピー増加が部分空間への集中と結びつくようにする。
• 等長群の $\rm{R}^d$ への作用に逆定理を適用し、群畳み込みにおけるエントロピーの振る舞いを分析する。
• 多スケール解析とカイモビッチ＝ヴェルシク補題を用いて、繰り返し自己畳み込みにおけるエントロピーの減衰を制御する。
• 成分が一様に集中する「飽和部分空間」の概念を導入し、これと次元損失を結びつける。
• ヤコビアン写像 $\Delta_{i,j}$ のランクといった幾何的道具を用い、パラメトリック族における横断性を解析し、退化を回避する。
• 加法的組合せ論および代数的数論の結果を応用し、特に代数的数における非ゼロ多項式表現の下界を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似集合のハウスドルフ次元が $\rm{R}^d$ 内で類似次元 $s$ に達しない条件は何か？
• RQ2 重なりを伴う自己相似集合における次元の低下現象は、反復関数系（IFS）の幾何的・力学的性質によって特徴付けられるか？
• RQ3 IFS が $\rm{R}^d$ 上に作用する線形部が、非自明な線形部分空間を保存する場合、特に全空間を保存しない場合、その影響は何か？
• RQ4 自己相似測度において、次元が最大であるか、あるいは $n$ 重合成が超指数的に近接するという構造的二分法が存在するか？
• RQ5 不変部分空間を考慮した修正された予想は、代数的 IFS あるいは非可約作用において証明可能か？

主な発見

• IFS の線形化が $\rm{R}^d$ 上で非可約に作用する場合、自己相似測度の次元は $\min\{s,d\}$ であるか、あるいは $n$ 重合成が $n$ に関して超指数的に近接するものが存在する。
• IFS が非自明な線形部分空間を保存する場合、全空間を保存しなくても次元の低下が生じる可能性があり、これはその部分空間への成分の飽和と関連する。
• 線形部が非可約な代数的 IFS に対しては、修正された予想が成り立つ：次元は最大であるか、超指数的に近接する合成が存在する。
• 次元が期待値未満となるパラメータの集合は小さい（例外的）であり、これは解析性および特定の差 $\Delta_{i,j}$ の非消滅性を用いて証明される。
• パラメトリック族における IFS が一般パラメータで非可約であれば、次元はほとんどすべてのパラメータで最大である。
• 重要な技術的結果として、係数が有界な多項式 $f$ が代数的数の関数であるとき、$f \neq 0$ であれば $|f| > c^n$ を満たす $c>0$ が存在する。これは正確な重なりを除外するために用いられる。