[論文レビュー] On semitopological interassociates of the bicyclic monoid

Олег Гутік, Kateryna Maksymyk|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2016

semigroups and automata theory参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、非負整数 $m$ および $n$ に対して定義される双周期的モノイドの半位相的相互関係 $\mathscr{C}_{m,n}$ を考察する。任意のハウスドルフ位相で $\mathscr{C}_{m,n}$ が半位相的半群となる場合、その位相は必ず離散的であることが示され、さらに局所コンパクトかつハウスドルフである場合、拡張半群 $\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$ は離散的またはコンパクトであることが証明される。

ABSTRACT

Semitopological interassociates $\mathscr{C}_{m,n}$ of the bicyclic semigroup $\mathscr{C}(p,q)$ are studied. In particular, we show that for arbitrary non-negative integers $m$, $n$ and every Hausdorff topology $τ$ on $\mathscr{C}_{m,n}$ such that $\left(\mathscr{C}_{m,n},τ ight)$ is a semitopological semigroup, is discrete. Also, we prove that if an interassociate of the bicyclic monoid $\mathscr{C}_{m,n}$ is a dense subsemigroup of a Hausdorff semitopological semigroup $(S,\cdot)$ and $I=S\setminus\mathscr{C}_{m,n} eq\varnothing$ then $I$ is a two-sided ideal of the semigroup $S$ and show that for arbitrary non-negative integers $m$, $n$, any Hausdorff locally compact semitopological semigroup $\mathscr{C}_{m,n}^0=\mathscr{C}_{m,n}\sqcup\{0\}$ is either discrete or compact.

研究の動機と目的

• 双周期的モノイド $\mathscr{C}(p,q)$ の半位相的相互関係 $\mathscr{C}_{m,n}$ の位相的性質を分析すること。ここで $\mathscr{C}_{m,n}$ は演算 $a \ast_{m,n} b = a q^m p^n b$ により定義される。
• 双周期的モノイドに関する既知の結果（例：離散位相の一意性、零元を加えた場合の離散的／コンパクトの二分法）を、その相互関係へと拡張すること。
• ハウスドルフ半位相的半群 $S$ における $\mathscr{C}_{m,n}$ が稠密な部分半群である場合、余り $I = S \setminus \mathscr{C}_{m,n}$ の構造を特に検討すること。
• ハウスドルフ局所コンパクト半位相的位相のもとで、$\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$ の位相的挙動を特定すること。

提案手法

• 部分半群 $\mathscr{C}_{m,n}^* = \{q^{n+k}p^{m+l} \mid k,l \in \mathbb{N}_0\}$ と元の双周期的半群 $\mathscr{C}(p,q)$ の間の同型を用い、既知の性質を移転可能とする。
• 恒久的商写像および Din’ N’e T’ong の定理を用いて、商位相における商空間 $\mathscr{C}_{m,n}^I / I$ を分析する。
• 半位相的半群におけるコンパクト理想の概念を用い、ハウスドルフ半位相的半群のコンパクト理想によるリース商が、再びハウスドルフかつ半位相的であるという事実を活用する。
• 自然な準同型が恒久的商写像であり、各点の逆像がコンパクトであるならば、商空間は局所コンパクトであるという性質を応用する。
• $\mathscr{C}_{m,n}^I$ における開集合および閉集合の構造を分析し、理想 $I$ が開でない場合、空間がコンパクトでなければならないことを示す。
• 半群演算の分離連続性から、ハウスドルフ半位相的設定において $\mathscr{C}_{m,n}$ が常に離散的であるという事実に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような位相で $\mathscr{C}_{m,n}$ の半群演算が分離連続となるか。また、その位相的制約は何か？
• RQ2 ハウスドルフ半位相的構造を持つ $\mathscr{C}_{m,n}$ が非離散的であることは可能か？
• RQ3 $\mathscr{C}_{m,n}$ がハウスドルフ半位相的半群 $S$ の稠密な部分半群であるとき、余り $I = S \setminus \mathscr{C}_{m,n}$ の構造はいかなるものか？
• RQ4 ハウスドルフ局所コンパクト位相のもとで、拡張半群 $\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$ に対して、離散的またはコンパクトという二分法が成立するか？
• RQ5 半群 $\mathscr{C}_{m,n}^I$ にコンパクト理想 $I$ が存在する場合、その空間の全体的な位相にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 任意の非負整数 $m$ および $n$ に対して、$\mathscr{C}_{m,n}$ に Hausdorff 位相を導入し、それが半位相的半群となるようなすべての位相は、離散的でなければならない。
• $\mathscr{C}_{m,n}$ がハウスドルフ半位相的半群 $S$ の稠密な部分半群であり、$I = S \setminus \mathscr{C}_{m,n} \neq \varnothing$ であるならば、$I$ は $S$ の両側理想である。
• 拡張半群 $\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$ は、任意の Hausdorff 局所コンパクト半位相的位相のもとで、離散的またはコンパクトのいずれかに限る。
• $\mathscr{C}_{m,n}^I = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup I$ が Hausdorff かつ局所コンパクトな半位相的半群であり、$I$ がコンパクト理想であるならば、$\mathscr{C}_{m,n}^I$ がコンパクトであるか、または $I$ が開集合である。
• リース商 $\mathscr{C}_{m,n}^I / I$ は、商位相のもとで $\mathscr{C}_{m,n}^0$ と位相的に同型であり、ハウスドルフ性および局所コンパクト性を引き継ぐ。
• 自然な商写像 $\pi: \mathscr{C}_{m,n}^I \to \mathscr{C}_{m,n}^I / I$ は恒久的商写像であり、これにより Din’ N’e T’ong の定理を適用し、商空間のコンパクト性を結論づけることができる。