[論文レビュー] On Shimura curves in the Torelli locus of curves

Xin Lü, Kang Zuo|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、曲線のトーリー局のシムーラ曲線を調査し、$ g /geq 5 $ の半安定曲線に対してムーフォード型のシムーラ曲線が一般に存在しないこと、および $ g /geq 8 $ のハイパーオーバル曲線に対して一般にシムーラ曲線が存在しないことを証明し、これらの状況でオアートの予想を確認する。また、3と4の genus に対して、シムーラ曲線の明示的例も構成する。

ABSTRACT

Oort has conjectured that there do not exist Shimura curves lying generically in the Torelli locus of curves of genus $g \geq 8$. We show that there do not exist one-dimensional Shimura families of semi-stable curves of genus $g\geq 5$ of Mumford type. We also show that there do not exist Shimura curves lying generically in the Torelli locus of hyperelliptic curves of genus $g\geq 8$. The first result proves a slightly weaker form of the conjecture for the case of Shimura curves of Mumford type. The second result proves the conjecture for the Torelli locus of hyperelliptic curves. We also present examples of Shimura curves contained generically in the Torelli locus of curves of genus $3$ and $4$.

研究の動機と目的

• $ g \geq 8 $ の曲線のトーリー局に一般に存在するシムーラ曲線の存在を調査すること。
• $ g \geq 5 $ のムーフォード型の半安定曲線の一様なシムーラ族の非存在を確立すること。
• $ g \geq 8 $ のハイパーオーバル曲線のトーリー局に一般に存在するシムーラ曲線の非存在を検証すること。
• 3 および 4 の genus の曲線に対して、トーリー局に一般に含まれるシムーラ曲線の明示的例を構成すること。
• シムーラ族を同定するための主要な不変量として、ヘッジ場の最大性とアラケロフ境界を分析すること。

提案手法

• 基底曲線 $ B $ 上のアーベル多様体のホッジ構造を分析するために、対数的ヘッジバンドル理論と分解 $ (E, \theta) = (A^{1,0} \oplus A^{0,1}, \theta|_{A^{1,0}}) \oplus (F^{1,0} \oplus F^{0,1}, 0) $ を用いる。
• アラケロフ不等式 $ \deg A^{1,0} \leq \frac{\text{rank } A^{1,0}}{2} \cdot \deg \Omega^1_B(\log \Delta_{nc}) $ を適用し、等号成立時にヘッジ場が最大であることを示す。
• ヘッジ場が厳密に最大であることは、それがムーフォード型のシムーラ族であることに同値であるという基準を適用する。
• 厳密に最大のヘッジ場とアラケロフ境界に到達することは、シムーラ族を特徴付ける。
• ガロア群 $ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 $ を持つ $ \mathbb{P}^1 $ へのアーベル被覆を用いて明示的な曲線族を構成し、ヘッジ場の最大性によってそのシムーラ性を検証する。
• デ・ジョン–チャンおよびムーデンの $ p $-進ホッジ理論と巡回被覆に関する結果を応用し、特定の族が一般にトーリー局に含まれないことを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ g \geq 8 $ の曲線のトーリー局に一般に存在するシムーラ曲線は存在するか？
• RQ2 $ g \geq 5 $ の半安定曲線のムーフォード型の一様なシムーラ族は存在できるか？
• RQ3 $ g \geq 8 $ のハイパーオーバル曲線のトーリー局に一般に存在するシムーラ曲線は存在するか？
• RQ4 カurve族がトーリー局にシムーラ曲線をもたらすために必要な幾何学的およびホッジ理論的条件は何か？
• RQ5 $ g = 3 $ および $ g = 4 $ のような低 genus の曲線に対して、トーリー局にシムーラ曲線の明示的例を構成できるか？

主な発見

• $ g \geq 5 $ の半安定曲線のムーフォード型の一様なシムーラ族は存在しない。これはオアートの予想の弱い形を確認する。
• $ g \geq 8 $ のハイパーオーバル曲線のトーリー局に一般に存在するシムーラ曲線は存在しない。これはこの場合においてオアートの予想を完全に確認する。
• 3 および 4 の genus の曲線に対して、トーリー局に明示的なシムーラ曲線が構成された。これは低 genus においてこのような族が存在することを示す。
• genus 4 の例では、$ \deg f_*\Omega^1_{S/B}(\log \Upsilon) = 4 $、$ \text{rank } A^{1,0} = 4 $、および $ \delta_f = 12 $ であり、厳密に最大のヘッジ場が確認された。
• genus 4 の族では、$ \omega_{S/B}^2 = 36 $ であり、$ c_1^2(\Omega_S^1(\log D)) = 72 = 3c_2(\Omega_S^1(\log D)) $ であるため、$ S \setminus D $ はボール商である。
• genus 4 のシムーラ曲線は完全でない。$ \Delta_{nc} \neq \emptyset $ であるためであり、ガロア群 $ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 $ を持つ $ \mathbb{P}^1 $ へのアーベル被覆の族と同型である。