[論文レビュー] On smile properties of volatility derivatives and exotic products: understanding the VIX skew

Elisa Alòs, David García-Lorite+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、VIX や実現分散オプションなどのボラティリティデリバティブにおける、マーチンゲール微分法（Malliavin calculus）に基づくアプローチを用いて、平価オプションのインプライドボラティリティ（ATMI）の水準とスケューの短時間行動を分析する。この研究では、ボラティリティ過程のハーストパラメータ H < 1/2 の場合、たとえば粗いボラティリティモデルのように、VIX スケューが正の値を示すことを特定し、中程度の残存期間に対しても成り立つ、ATMI スケューと水準の明示的な漸近式を導出する。

ABSTRACT

We develop a method to study the implied volatility for exotic options and volatility derivatives with European payoffs such as VIX options. Our approach, based on Malliavin calculus techniques, allows us to describe the properties of the at-the-money implied volatility (ATMI) in terms of the Malliavin derivatives of the underlying process. More precisely, we study the short-time behaviour of the ATMI level and skew. As an application, we describe the short-term behavior of the ATMI of VIX and realized variance options in terms of the Hurst parameter of the model, and most importantly we describe the class of volatility processes that generate a positive skew for the VIX implied volatility. In addition, we find that our ATMI asymptotic formulae perform very well even for large maturities. Several numerical examples are provided to support our theoretical results.

研究の動機と目的

• ボラティリティデリバティブが正のインプライドボラティリティスケューを示す条件を理解すること、特にVIXオプションに関して。
• 特異的で取り扱いやすい方法を確立し、オプションのエグゾチックおよびボラティリティデリバティブにおける、平価オプションのインプライドボラティリティ（ATMI）水準とスケューの短時間行動を分析すること。
• 市場データで観察される現実的なVIXスケューを生成する、確率的ボラティリティ過程のクラスを特定すること。
• マーチンゲール微分法の技術を用いて、既存のATMI漸近結果を実現分散およびVIXオプションへと拡張すること。
• 無限小の期間に限らない中でさえも正確なまま保たれる、ATMIスケューと水準の漸近式を提供すること。

提案手法

• マーチンゲール微分法を用いて、ボラティリティデリバティブのATMIスケューと水準を、元のボラティリティ過程のマーチンゲール微分の関数として表現する。
• エグゾチックオプションの価格と、元の過程のマーチンゲール微分によって定まるボラティリティを持つ変換された原資産上のバニラオプションの価格との間の関係を確立する。
• T → 0 の極限における漸近展開を適用し、原資産の満期近辺でのボラティリティ過程の振る舞いを活用して、ATMIスケューと水準の明示的表現を導出する。
• ハーストパラメータ H に関連する重要な漸近式を導出し、正規性条件のもとでスケューが T^{H - 1/2} に比例し、水準も同様に T^{H - 1/2} に比例することを示す。
• 超幾何関数と確率積分を用いて、ボラティリティ過程のマーチンゲール微分を含む期待値を計算する。
• 数値的検証を通じて漸近式の妥当性を確認し、中程度の期間に対しても良好な性能を示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような確率的ボラティリティ過程のクラスが、短期間におけるVIXオプションの正のインプライドボラティリティスケューを生成するか？
• RQ2 粗いボラティリティモデルにおけるハーストパラメータ H は、VIXおよび実現分散オプションのATMIスケューと水準の短時間行動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 マーチンゲール微分法の技術を用いることで、無限小の期間制限を超えて有効なATMIスケューと水準の漸近近似が得られるか？
• RQ4 ATMIスケューは、ボラティリティ過程のマーチンゲール微分に対して、どのように関数的に依存するか？
• RQ5 ATMIスケューと水準の漸近式は、現実的な期間における数値シミュレーションとどのように比較されるか？

主な発見

• VIXおよび実現分散オプションのATMIスケューは、ボラティリティ過程のハーストパラメータ H に対して、短時間極限において T^{H - 1/2} に比例する。
• H < 1/2 の場合にVIXスケューが正の値を示すことがあり、これは分数 Browm運動に基づく粗いボラティリティモデルの特徴である。
• ATMI水準についても、T^{H - 1/2} に比例し、その係数はペイオフ関数の微分と初期ボラティリティ水準に依存する。
• ATMIスケューの漸近式は、二つの項の組み合わせとして導出される：一つはペイオフ関数の二階微分と超幾何積分を含み、もう一つは一階微分とボラティリティ水準を含む。
• 数値例により確認されたように、中程度の期間に対しても、導出されたATMIスケューと水準の漸近式は良好な性能を示す。
• 本手法により、従来のATMIスケューに関する結果が、元の過程のマーチンゲール微分と関連付けることで、エグゾチックボラティリティデリバティブへと自然に一般化された。