[論文レビュー] On solitary surface waves in finite water depth: a generalized wave theory

Shijun Liao|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2012

Ocean Waves and Remote Sensing被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、有限水深における進行波の永久的形状を記述するため、対称性と完全非線形波動方程式に基づく統一波動モデル（UWM）を提案する。従来のモデルとは異なり、UWMは波の山頂部における非渦流流れを許容するため、以前はカマッサ＝ホルムのような簡略化方程式からのみ導出可能であった、山頂が鋭い波動（ピークを持つ孤立波）の存在を可能にする。主な貢献は、これらのピークを持つ波動が、クラシカルな滑らかな波動と物理的に整合することを証明したことである。これは、ケルビンの定理が成立し、波動の速度が波高に依存しないという特徴的かつ一意な運動学的性質を示す。また、表面から底面にかけての運動エネルギーが一定または増加するという特徴もある。

ABSTRACT

Many models of shallow water waves admit peaked solitary waves. However, it is an open question whether or not the widely accepted peaked solitary waves can be derived from the fully nonlinear wave equations. In this paper, a unified wave model (UWM) based on the symmetry and the fully nonlinear wave equations is put forward for progressive waves with permanent form in finite water depth. Different from traditional wave models, the flows described by the UWM are not necessarily irrotational at crest, so that it is more general. The unified wave model admits not only the traditional progressive waves with smooth crest, but also a new kind of solitary waves with peaked crest that include the famous peaked solitary waves given by the Camassa-Holm equation. Besides, it is proved that Kelvin's theorem still holds everywhere for the newly found peaked solitary waves. Thus, the UWM unifies, for the first time, both of the traditional smooth waves and the peaked solitary waves. In other words, the peaked solitary waves are consistent with the traditional smooth ones. So, in the frame of inviscid fluid, the peaked solitary waves are as acceptable and reasonable as the traditional smooth ones. It is found that the peaked solitary waves have some unusual and unique characteristics. First of all, they have a peaked crest with a discontinuous vertical velocity at crest. Especially, the phase speed of the peaked solitary waves has nothing to do with wave height. In addition, the kinetic energy of the peaked solitary waves either increases or almost keeps the same from free surface to bottom. All of these unusual properties show the novelty of the peaked solitary waves, although it is still an open question whether or not they are reasonable in physics if the viscosity of fluid and surface tension are considered.

研究の動機と目的

• カマッサ＝ホルムなどの簡略化方程式から導出されたピークを持つ孤立波が、完全非線形波動力学と整合するかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 滑らかでピークを持つ両方の孤立波を一つの理論的枠組みで統合する一般化された波動モデルの開発。
• 粘性なし・非渦流流れの仮定のもとで、ピークを持つ孤立波の物理的妥当性の検証。
• 特に位相速度と運動エネルギー分布に注目した、ピークを持つ孤立波の運動学的・力学的性質の調査。
• ケルビンの定理がピークを持つ孤立波に対しても成立することを確立し、理論的正当性を強化すること。

提案手法

• 有限水深における完全非線形波動方程式と対称性原理に基づく統一波動モデル（UWM）の構築。
• 波の山頂部における非渦流流れの仮定を緩和し、渦流を許容することで、ピークを持つ波動解の導出を可能にする。
• 変分原理と非線形境界条件を用いて、UWMから波形および速度場を導出する。
• 新たに導出されたピークを持つ孤立波解に対してケルビンの定理を適用し、流れ全域でその有効性を検証する。
• 位相速度と運動エネルギー分布に注目し、ピークを持つ波動とクラシカルな滑らかな波動の運動学的・力学的性質を比較する。
• 解析的手法を用いて、ピークを持つ孤立波の位相速度が波高に依存しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カマッサ＝ホルムのような簡略化モデルから導出されたピークを持つ孤立波が、有限水深における完全非線形波動方程式から一貫して導出可能かどうか。
• RQ2 ピークを持つ孤立波の存在が、ケルビンの定理などの既存の流体力学的原則と矛盾するかどうか。
• RQ3 ピークを持つ孤立波がクラシカルな滑らかな波動と比較して、どのような特徴的な運動学的・力学的特性を有するか。
• RQ4 ピークを持つ孤立波の位相速度が、クラシカルな波動理論と同様に波高に依存するかどうか。
• RQ5 ピークを持つ孤立波において、運動エネルギーが自由表面から底面にかけてどのように変化するか、およびそのエネルギー分布に何を示唆するか。

主な発見

• 統一波動モデル（UWM）は、従来の滑らかな進行波と加えて、山頂が鋭い新しい種類の孤立波を明確に受け入れており、これらを一つの枠組みで統合している。
• UWMから導出されたピークを持つ孤立波は、クラシカルな流体力学と物理的に整合しており、流れ全域でケルビンの定理が成立している。
• ピークを持つ孤立波の位相速度は波高に依存せず、これはクラシカルな波動理論では観察されない特徴的な性質である。
• 垂直速度成分は波の山頂部で不連続であり、角ばった非滑らかな断面形状を示している。
• 運動エネルギーは、自由表面から底面にかけて増加するか、ほぼ一定を維持するが、滑らかな波動とは異なり減少傾向を示さない。
• これらの波動は、エネルギー分布と運動学的挙動に特異性を示しており、粘性または界面張力効果の下では未解決の問題であるが、その新奇性が顕著である。