[論文レビュー] On solving classes of positive-definite quantum linear systems with quadratically improved runtime in the condition number

Davide Orsucci, Vedran Dunjko|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 66被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、一般の正定値量子線形システム（PD-QLS）問題が、条件数 κ に線形に依存する実行時間が必要であることを示しており、最悪ケースでは二乗の高速化が不可能である。しかし、A⁻¹ の効率的な行列ブロック符号化または行列分解 A = LL† を活用することで、広範なクラスの PD-QLS 問題に対して O(√κ) の実行時間を持つ2つの新しい量子アルゴリズムを提案し、二乗の高速化を達成するとともに、BQP完全問題を解ける。

ABSTRACT

Quantum algorithms for solving the Quantum Linear System (QLS) problem are among the most investigated quantum algorithms of recent times, with potential applications including the solution of computationally intractable differential equations and speed-ups in machine learning. A fundamental parameter governing the efficiency of QLS solvers is $\kappa$, the condition number of the coefficient matrix $A$, as it has been known since the inception of the QLS problem that for worst-case instances the runtime scales at least linearly in $\kappa$ [Harrow, Hassidim and Lloyd, PRL 103, 150502 (2009)]. However, for the case of positive-definite matrices classical algorithms can solve linear systems with a runtime scaling as $\sqrt{\kappa}$, a quadratic improvement compared to the the indefinite case. It is then natural to ask whether QLS solvers may hold an analogous improvement. In this work we answer the question in the negative, showing that solving a QLS entails a runtime linear in $\kappa$ also when $A$ is positive definite. We then identify broad classes of positive-definite QLS where this lower bound can be circumvented and present two new quantum algorithms featuring a quadratic speed-up in $\kappa$: the first is based on efficiently implementing a matrix-block-encoding of $A^{-1}$, the second constructs a decomposition of the form $A = L L^\dagger$ to precondition the system. These methods are widely applicable and both allow to efficiently solve BQP-complete problems.

研究の動機と目的

• 正定値線形システムに対する量子アルゴリズムが、古典的手法と同様に条件数 κ に対して二乗の高速化を達成できるかどうかを特定すること。
• 一般の Ω(κ) の下界にかかわらず、このような二乗の高速化が可能な正定値行列の構造的クラスを同定すること。
• より優れた実行時間スケーリングを達成するための、これらの構造的 PD-QLS 問題を効率的に解く新しい量子アルゴリズムを開発すること。
• PD-QLS 問題の部分クラスが BQP 完全であることを確立し、その計算的普遍性を示すこと。
• 理論的量子高速化と実用的応用を結びつけるために、効率的な量子解法が可能な広く関連性のある行列族を同定すること。

提案手法

• A⁻¹ の効率的な行列ブロック符号化の実装に基づく量子アルゴリズムを開発し、PD-QLS の解法において O(√κ) のクエリ数およびゲート数の複雑さを達成する。
• A = LL† の分解を構築する前処理法を導入し、システムを量子的に効率的に解ける形に変換し、O(√κ) のゲート数の複雑さを達成する。
• 逆行列 A⁻¹ を量子計算可能な形で表現するためのブロック符号化フレームワークを用い、効率的な状態準備とユニタリ変換を可能にする。
• 係数行列 A を下三角行列とその随伴行列の積に分解することで、効果的な前処理と収束の改善を実現する。
• フェインマン＝キタイエフハミルトニアン構成を適用し、量子回路を QLS 問題に符号化することで、Sum-QLS の部分クラスが BQP 完全であることを証明する。
• ユニタリ時間発展から M†M として正定値エルミート行列 A を構築することで、量子回路シミュレーションと QLS の間の接続を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正定値線形システムに対する量子アルゴリズムは、古典的反復解法と同様に、条件数 κ に対して二乗の高速化を達成できるか？
• RQ2 正定値行列のどのような構造的性質が、一般の Ω(κ) の下界ではなく O(√κ) の実行時間スケーリングを可能にするか？
• RQ3 行列ブロック符号化または行列分解を用いて、構造的 PD-QLS 問題のための効率的な量子アルゴリズムを構築できるか？
• RQ4 特定のクラスの正定値量子線形システムを解く問題は BQP 完全か？
• RQ5 条件数依存性における二乗の改善を可能にするために、行列構造およびスパarsity に必要な最小限の仮定は何か？

主な発見

• この論文は、標準的なアクセスモデル下で、任意の QLS 問題（正定値インスタンスを含む）に対して、一般に Ω(κ) のクエリ複雑さの下界を証明している。
• 広範な正定値行列クラスに対して、提案されたブロック符号化ベースのアルゴリズムが O(√κ) のクエリ数およびゲート数の複雑さを達成し、一般の QLS の下界に対して二乗の高速化を実現する。
• 分解ベースのアルゴリズムも、b が解空間と十分な重なりを持つ限り、A = LL† を用いた前処理により O(√κ) のゲート数の複雑さを達成する。
• パラメータが多項式スケーリングを持つ正定値局所ハミルトニアンの和として定義される Sum-QLS 問題は、BQP 完全であることが示された。
• A が正定値で b がスパースであるような、離散化された PDE（例：ポアソン方程式）や量子回路シミュレーションなどの問題に、アルゴリズムが適用可能である。
• 重なりパラメータ γ が小さく、行列 A が有界な局所性とスパarsity を持つ O(T) 個の正定値局所ハミルトニアンの和で構成される場合、実行時間の改善が達成可能であることが分析で確認された。