[論文レビュー] On some Definite Integrals involving the Hurwitz Zeta function

Olivier Espinosa, Victor H. Moll|ArXiv.org|Dec 11, 2000

Advanced Mathematical Identities参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Hurwitzのゼータ関数を含む定積分の系列が導出され、積分表現とゼータ関数の解析接続を用いて、ベルヌーイ多項式、$\nabla\Gamma(q)$、および $\nabla\sin(q)$ の新たな公式が確立される。主な貢献は、極の周りのローラン展開と極限処理を用いたポリガンマ関数およびディガマ関数の積分の閉形式評価である。

ABSTRACT

We establish a series of integral formulae involving the Hurwitz zeta function. Applications are given to integrals of Bernoulli polynomials, log Gamma(q) and log sin(q).

研究の動機と目的

• 標準的な積分表に乏しい、Hurwitzのゼータ関数を含む新たな定積分公式の導出。
• 初等関数および特殊関数（例：$\nabla\Gamma(q)$、$\nabla\sin(q)$、ベルヌーイ多項式）の積分を、線形関係を通じてHurwitzのゼータ関数に結びつけること。
• zeta関数に基づく積分表現の極限をとることで、ポリガンマ関数 $\nabla^{(m)}(q)$ およびディガマ関数 $\nabla(q)$ の積分を評価すること。
• ローラン展開およびゼータ関数の特別値を用いて、$q^n \nabla^{(m)}(q)$ および $q^n \nabla(q)$ を含む積分の閉形式評価を提供すること。

提案手法

• Hurwitzのゼータ関数の積分表現：$\zeta(z,q) = \frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^\infty \frac{e^{-qt}}{1-e^{-t}} t^{z-1} dt$（$\mathop{\rm Re}(z)>1$, $\mathop{\rm Re}(q)>0$）を用いた積分公式の導出。
• Hermiteの積分表現による解析接続を適用し、初期収束領域を超えて結果を拡張すること。
• 関係式 $\psi^{(m)}(q) = (-1)^{m+1} m! \zeta(m+1,q)$ を用いて、ポリガンマ積分をHurwitzのゼータ関数に表現すること。
• 一般積分公式における $z \to m+1$ の極限処理により、ローラン展開における特異部および有限部の係数を抽出すること。
• $\zeta(1-\varepsilon)$、$\zeta(-r-\varepsilon)$、およびPochhammer記号 $(-m)_{k+1}$ の展開を用いて、$\varepsilon \to 0$ の極限における極と特異性を扱うこと。
• 既知の恒等式 $\sum_{r=0}^j (-1)^r \binom{j+1}{r} \zeta(-r) = -\frac{1}{j+2}$ を用いて発散項を相殺し、有限な結果を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分表現と解析接続を用いて、Hurwitzのゼータ関数を含む定積分を体系的に評価する方法は何か？
• RQ2 $n > m$ の場合に $\int_0^1 q^n \psi^{(m)}(q) dq$ の閉形式評価は、ゼータ関数および調和数を用いてどのように表せるか？
• RQ3 $\nabla\Gamma(q)$ および $\nabla\sin(q)$ の積分は、線形恒等式を通じてHurwitzのゼータ関数とどのように関係するか？
• RQ4 積分 $\int_0^1 q^n \psi(q) dq$ は $z \to 1$ のときどのように振る舞い、l’Hôpitalの定理およびゼータ関数の展開を用いてどのように評価できるか？
• RQ5 ゼータ関数に基づく積分のローラン展開における発散項を体系的に相殺し、有限で閉形式の結果を得ることは可能か？

主な発見

• $n > m$ の場合に $\int_0^1 q^n \psi^{(m)}(q) dq$ の閉形式表現が導出され、$$(-1)^m \frac{n!}{(n-m)!} \left[ \frac{\gamma}{n-m+1} + (n-m)! \sum_{k=0}^{m-2} \frac{\Gamma(m-k)\zeta(m-k)}{(n-k)!} + \sum_{k=0}^{n-m-1} (-1)^k \binom{n-m}{k} \left( H_k \zeta(-k) + \zeta'(-k) \right) \right]$$ となる。
• 積分 $\int_0^1 q^n \psi(q) dq$ は、$z \to 1$ の極限およびl’Hôpitalの定理を用いて、$\zeta'(0) + \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k \binom{n}{k} \left( H_k \zeta(-k) + \zeta'(-k) \right)$ に評価される。
• ローラン展開における $1/\varepsilon$ 特異性の係数は、恒等式 $\sum_{r=0}^j (-1)^r \binom{j+1}{r} \zeta(-r) = -\frac{1}{j+2}$ のため消え、有限な結果が保証される。
• ベルヌーイ多項式、$\nabla\Gamma(q)$、$\nabla\sin(q)$ の積分は、Hurwitzのゼータ関数を含む線形関係を通じて、主定理の特別な場合として示される。
• $\int_0^1 q^n \psi^{(m)}(q) dq$ の評価は、展開 $\Gamma(m+1) \frac{\Gamma(1-\varepsilon)}{\Gamma(m+1-\varepsilon)} = 1 + H_m \varepsilon + O(\varepsilon)$ および $\Gamma(m+1) \frac{\Gamma(-r-\varepsilon)}{\Gamma(m+1-\varepsilon)} = \frac{(-1)^{r+1}}{r!} \left[ \frac{1}{\varepsilon} + H_m - H_r \right] + O(\varepsilon)$ に依存する。
• 本稿は、積分 $\int_0^1 q^n \psi(q) dq$ が有限であり、負の整数におけるゼータ関数の値およびその微分を用いて表現可能であることを確認しており、発散項が相殺された後に残る項は存在しない。