[論文レビュー] On Some Finite Sums with Factorials

Бранко Драгович|ArXiv.org|Apr 27, 2004

advanced mathematical theories参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、階乗と多項式を含む有限和の一般化された和公式を導出しており、形式 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! (i^k + u_k)$ が $v_k + \varepsilon^{n-1} n! A_{k-1}(n)$ に簡略化されることを示している。ここで $A_{k-1}(n)$ は多項式である。主な貢献は、左階乗に関するクレパの予想に対する無限個の新しい同値条件を確立したことであり、このような和の整除性の性質が未解決の数論的予想と結びついていることである。

ABSTRACT

The summation formula $$ \sum^{n-1}_{i=0}ε^i i! (i^k+u_k) = v_k+ε^{n-1} n! A_{k-1}(n) $$ $(ε=\pm 1; k=1,2,...; u_k, v_k\in \msbm\hbox{Z}; A_{k-1}$ is a polynomial) is derived and its various aspects are considered. In particular, divisibility with respect to $n$ is investigated. Infinitely many equivalents to Kurepa's hypothesis on the left factorial are found.

研究の動機と目的

• 階乗と多項式 $P_k(i)$ の積の有限和 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! P_k(i)$ に対して閉形式の和公式を導出すること。
• これらの和の整除性の性質を、特に $n!$ や素因数に関して調査すること。
• 左階乗に関するクレパの予想（KH）との新しい関係を確立すること。KH は $n \geq 2$ に対して $(!n, n!) = 2$ を主張する。
• 再帰関係と $p$-進解析を用いて、クレパの予想の無限個の新しい同値表現を生成すること。

提案手法

• 二項展開とテレスコピック和を用いて、$S_k^\varepsilon(n) = \sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! i^k$ の再帰的関係を導出する。
• 関数方程式 $(n+1)A_{k-1}(n+1) - \varepsilon A_{k-1}(n) = n^k + A_{k-1}(1) - \varepsilon A_{k-1}(0)$ を満たす多項式 $A_{k-1}(n)$ を導入し、和公式の実現を可能にする。
• クロンネッカーのデルタ関数と二項係数を用いて、$S_k^\varepsilon(n)$ を低次の和に再帰的に表現する。
• $\mathbb{F}_p$ におけるフェルマーの小定理を適用し、高次多項式 $i^{k + r(p-1)}$ を $p$ を法として $i^k$ に還元する。
• 特に $u_k \not\equiv 0 \pmod{p}$ のとき、$p$ を法とする新しい合同条件がクレパの予想と同値であることを確立する。
• 無限大への $n$ の極限における和の $p$-進極限を分析し、$\mathbb{Q}_p$ 内で $v_k$ に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された閉形式の式 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! (i^k + u_k)$ を導出できるか？
• RQ2 この和が $n!$ や素数 $p$ で割り切れるのはどのような条件下か？
• RQ3 $u_k$ と $v_k$ の係数は、和の構造およびクレパの予想とどのように関係しているか？
• RQ4 クレパの予想と同値となる合同式に基づく命題が無限個存在するか？
• RQ5 無限級数 $\sum_{i=0}^{\infty} \varepsilon^i i! i^k$ の $p$-進的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 和公式 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! (i^k + u_k) = v_k + \varepsilon^{n-1} n! A_{k-1}(n)$ が成り立つのは、$A_{k-1}(n)$ が再帰的関係 $(n+1)A_{k-1}(n+1) - \varepsilon A_{k-1}(n) = n^k + A_{k-1}(1) - \varepsilon A_{k-1}(0)$ を満たすとき、かつそのときに限る。
• $\varepsilon = 1$ のとき、$u_k$ の最初のいくつかの値は $u_1 = 0$, $u_2 = 1$, $u_3 = -1$, $u_4 = -2$, $u_5 = 9$, $u_6 = -9$ であり、$v_k$ の値は $v_1 = -1$, $v_2 = 1$, $v_3 = 1$, $v_4 = -5$, $v_5 = 5$, $v_6 = 21$ である。
• 素数 $p$ が $u_k$ を割り切らないとき、合同式 $\sum_{i=0}^{p-1} i! i^k \not\equiv v_k \pmod{p}$ はクレパの予想と同値である。
• 無限個のクレパの予想の新しい同値条件が導出され、特に $\sum_{i=0}^{p-1} i! i^2 \not\equiv 1 \pmod{p}$, $\sum_{i=0}^{p-1} i! i^3 \not\equiv 1 \pmod{p}$, $\sum_{i=0}^{p-1} i! i^4 \not\equiv -5 \pmod{p}$（$p > 2$）が含まれる。
• $p$-進設定において、無限級数 $\sum_{i=0}^{\infty} i! i^k$ は $\mathbb{Q}_p$ 内で $v_k$ に収束し、クレパの予想は左階乗 $!p$ の $p$-進非零性と同値である。
• $\mathbb{F}_p$ において $(u_{p-1}+1)!p = v_{p-1}+1$, $(u_p+1)!p = v_p+1$ などの恒等式が成り立ち、これらはクレパの予想の真偽とは独立である。