[論文レビュー] On some Free Boundary Problems of the Prey-predator Model

Mingxin Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1次元のロトカ＝ヴォルテラ捕食者・被捕食者モデルにおける自由境界問題を研究しており、拡散フロントが移動境界 $ h(t) $ で定義される。拡散・消滅の二分法が確立され、種は成功して拡散して存続するか、漸近的に消滅するかのいずれかである。その基準は初期生息域のサイズと自由境界の移動係数 $ \mu $ に依存する。また、漸近的拡散速度が、全直線上の移動波解の最小速度によって上から抑えられることを示している。

ABSTRACT

In this paper we investigate some free boundary problems for the Lotka-Volterra type prey-predator model in one space dimension. The main objective is to understand the asymptotic behavior of the two species (prey and predator) spreading via a free boundary. We prove a spreading-vanishing dichotomy, namely the two species either successfully spread to the entire space as time $t$ goes to infinity and survive in the new environment, or they fail to establish and die out in the long run. The long time behavior of solution and criteria for spreading and vanishing are also obtained. Finally, when spreading successfully, we provide an estimate to show that the spreading speed (if exists) cannot be faster than the minimal speed of traveling wavefront solutions for the prey-predator model on the whole real line without a free boundary.

研究の動機と目的

• 1次元空間における自由境界を介した被捕食者・捕食者種の長期的空間的ダイナミクスを理解すること。
• 2種の系に対して、拡散・消滅の二分法を確立し、種が存続するか絶滅するかを決定すること。
• 初期生息域のサイズと自由境界の移動係数 $ \mu $ に基づく拡散・消滅の基準を導出すること。
• 異なる捕食レジームにおける解の長期的挙動を解析し、定常状態への収束を含めること。
• 自由境界モデルにおける漸近的拡散速度と、全空間問題における移動波解の最小速度を比較すること。

提案手法

• 固定左境界と自由右境界（DFB）、左端でノイマン条件と自由右境界（NFB）、両端が自由境界（TFB）の3つの自由境界問題を定式化する。
• 境界 $ x = h(t) $ において自由境界条件 $ h'(t) = -\mu(u_x + \rho v_x) $ を課し、侵入速度を被捕食者および捕食者種の濃度勾配に比例する形でモデル化する。
• 比較原理および上界・下界解を用いて、長期的挙動と拡散基準を解析する。
• 対応する全空間問題における移動波解の理論を用い、拡散速度の上界を導出する。
• シュアウダー型推移と正則性理論を用いて、ホルダー空間における解の全域的全域存在性と一意性を証明する。
• 異なる初期データと境界条件の下で系を解析し、存続または絶滅の条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被捕食者および捕食者種が空間全体に成功して拡散するのはどのような条件下か。また、いつ絶滅するか。
• RQ2 初期生息域のサイズと自由境界の移動係数 $ \mu $ が、拡散または消滅の結果にどのように影響するか。
• RQ3 拡散が生じた場合、特に弱い捕食および強い捕食レジームにおいて、解の長期的挙動はいかなるものか。
• RQ4 自由境界モデルにおける漸近的拡散速度は、全空間系における移動波解の最小速度を超えることができるか。
• RQ5 固定端におけるディリクレ条件およびノイマン条件が、両端が自由境界のケースと比較して拡散ダイナミクスにどのように影響するか。

主な発見

• 拡散・消滅の二分法が成立する：$ \lim_{t \to \infty} h(t) = \infty $ ならば両種とも存続し、$ \lim_{t \to \infty} h(t) < \infty $ ならば両種とも消滅する。
• 初期生息域サイズ $ h_0 \geq \Lambda $ ならば、$ \Lambda = \pi \min\{\sqrt{d/c}, 1\} $（DFBの場合）または $ \frac{\pi}{2} \min\{\sqrt{d/c}, 1\} $（NFBの場合）ならば、初期個体数にかかわらず拡散が生じる。
• NFBモデルにおいて、$ ac < 1 $ かつ $ ab < 1 $ ならば、$ t \to \infty $ のとき $ u(t,x) \to \text{const} > 0 $、$ v(t,x) \to \text{const} > 0 $ となる。一方、$ ac > 1 $ ならば $ u(t,x) \to 0 $、$ v(t,x) \to c $ となる。
• DFBモデルにおいて、$ a(b+c) < 1 $ の下で、解は一様な有界性を満たす：$ \underline{u}(x) \leq \liminf u(t,x) \leq \limsup u(t,x) \leq \bar{u}(x) $ であり、$ v $ に対しても同様の有界性がコンパクト集合上で一様に成り立つ。
• 拡散が生じる場合、その漸近的拡散速度（存在する場合）は、全空間系における移動波解の最小速度を超えることはない。
• 移動係数 $ \mu $ は極めて重要な役割を果たす：$ \mu > \mu^* $ ならば、初期生息域が小さくても拡散が生じる。一方、$ \mu < \mu_* $ ならば、初期個体数にかかわらず消滅が生じる。